Представлен краткий обзор работ по трансформации поверхностных и внутренних гравитационных волн над донным уступом. Обсуждается обобщение известных формул Лэмба для расчета коэффициентов трансформации, полученных в длинноволновом приближении, на случай волн произвольной длины в жидкости конечной глубины. Дано описание строго подхода к расчету коэффициентов трансформации в линейном приближении как для поверхностных, так и для внутренних волн в двухслойной жидкости и отмечены трудности, связанные с использованиием этого подхода. Рассмотрены различные приближенные подходы и их соответствие строгой теории, а также экспериментальным и численным данным. В рамках строгого подхода приведены расчеты не только коэффициентов трансформации бегущих волн, но также и коэффициентов возбуждения прижатых к уступу волн. Найдено, что длина несущей волны узкополосного пакета после прохождения над уступом изменяется пропорционально фазовой скорости, а длина огибающей изменяется пропорционально групповой скорости. Представлено сравнение теоретических результатов с численными данными и лабораторными экспериментами.

Уравнение Кортевега—де Вриза является стандартной моделью для описания динамики длинных нелинейных внутренних волн в океане. Когда принимаются во внимание слабые воздействия вращения Земли и поперечных возмущений, то уравнение изменяется к форме так называемого модифицированного уравнения Кадомцева—Петвиашвили с вращением. В этой короткой статье дана ревизия асимптотической процедуры вывода этого уравнения с учетом фонового сдвигового течения так же, как и фоновой стратификации.

‎ Рассматриваются поля внутренних гравитационных волн в слое стратифицированной среды переменной глубины. В предположении линейного наклона дна, с использованием преобразования Канторовича—Лебедева получены точные решения, описывающие отдельную моду и полное волновое поле внутренних гравитационных волн. Отдельная волновая мода выражается через гипергеометрическую функцию, полное волновое поле описывается полулогарифмической функцией. Построены ВКБ-асимптотики как отдельной волновой моды, так и полного волнового поля. Для параметров среды, характерной для реального океана (Бискайский залив), приведены результаты численных расчетов волновых полей по асимптотическим формулам. Было проведено сравнение с результатами численного моделирования полной системы уравнений гидродинамики, описывающей эволюцию нелинейных волновых возмущений над неровным океаническим дном, и показано, что амплитудно-фазовая структура волновых полей хорошо описывается полученными в работе асимптотическими формулами. Имеющиеся натурные данные также показывают, что волновые картины с ярко выраженной лучевой структурой могут наблюдаться в условиях реального океана, особенно при исследовании эволюции пакетов внутренних гравитационных волн над неровным дном. В частности аналитические, численные и натурные данные показывают, что ширина волновых пучков уменьшается при приближении к берегу. Характерные лучевые картины волновых полей внутренних гравитационных волн в слое стратифицированной среды переменной глубины были получены в работе без использования математического аппарата геометрической оптики. 

Рассматривается распространение внутренних волн большой амплитуды над неровным дном. Одной из характерных черт волн большой амплитуды является наличие «захваченного ядра» в волне, то есть области, в которой скорость движения частиц близка и даже превосходит скорость волны. Эти волны широко распространены в океане и наблюдаются в виде приповерхностных волн понижения, придонных волн повышения и прослоечных волн. В работе представлен обзор лабораторных экспериментов по генерации, взаимодействию и затуханию уединенных волн в двухслойной жидкости и иллюстрируются новые возможности применения аналитических и численных решений для интерпретации натурных экспериментов. На основе математической модели трехслойной мелкой воды построены решения, описывающие эволюцию уединенных волн в шельфовой зоне. Проведенные лабораторные исследования уединенных волн большой амплитуды, распространяющихся в прослойке (симметричные волны второй моды), а также в приповерхностных и придонных слоях (волны понижения и повышения первой моды) показали возможность применения модели для расчета нестационарных волновых процессов, а также полученных из нее точных решений для определения формы и основных параметров этих волн. Анализ полученных решений дает возможность установить основные закономерности трансформации уединенных волн и нелинейных волновых пакетов большой амплитуды в шельфовой зоне моря. 

Численно исследуются динамика и энергетика фронтального столкновения уединенных внутренних волн большой амплитуды, распространяющихся в жидкости с двухслойной стратификацией. Расчеты проводятся в рамках уравнений Навье—Стокса в приближении Буссинеска. Показано, что в результате столкновения уединенных внутренних волн умеренных амплитуд возникает малый фазовый сдвиг и за прошедшими волнами генерируются дисперсионные цуги волн. Фазовый сдвиг растет с увеличением амплитуд взаимодействующих волн и при больших амплитудах приближается к предельному значению. При фронтальном столкновении волн больших амплитуд отклонение максимальной высоты от удвоенной амплитуды набегающих волн не увеличивается с их ростом, в отличие от волн умеренной амплитуды. Показано, что взаимодействие волн большой амплитуды приводит к сдвиговой неустойчивости и формированию вихрей Кельвина—Гельмгольца в слое раздела, однако затем волны снова становятся устойчивыми. 

Для жидкости с квазитрехслойной стратификацией плотности исследованы особенности переноса жидких частиц при распространении длинных нелинейных локализованных волновых пакетов (бризеров) в рамках слабонелинейной теории. Для описания смещений в максимуме вертикальной бароклинной моды использовалось уравнение Гарднера. Для определения полей смещений, вертикальных и горизонтальных скоростей, необходимых для нахождения Лагранжевых траекторий частиц, использовалось три варианта вертикальной структуры волновых полей: линейная мода, слабонелинейное приближение (с учетом первой нелинейной поправки к линейной моде) и слабонелинейное слабодисперсионное приближение (учитывались как первая нелинейная, так и первая дисперсионная поправки). Поскольку поля скоростей, индуцированные нелинейным волновым пакетом, мгновенно изменяются, исследовались процессы переноса частиц для разных начальных конфигураций бризеров. Проведено сравнение формы траекторий частиц для разных горизонтов и разных конфигураций бризеров. Показано, что использование слабонелинейной модели достаточно для определения траекторий жидких частиц, поскольку учет первой дисперсионной поправки к модовой функции почти не влияет на качественные и количественные характеристики смещения частиц. Выявлено существенное отличие решения задачи о траекториях жидких частиц для двух типов нелинейных волновых движений в стратифицированной жидкости — солитонов и бризеров. 

Выполнены численные расчеты эволюции поля внутренних волн в Печорском море, где ранее проводились измерения внутреннего бора. В рамках численной модели, основанной на обобщенном уравнении Гарднера, зарегистрированная в 1998 г. форма внутреннего бора использована в качестве граничного условия, что позволило дать возможный прогноз ее эволюции. Исследовано влияние изменчивости гидрологии и влияния диссипации в придонном пограничном слое и горизонтальной диффузии на прогнозируемые характеристики внутренних волн. Показано, что хотя характеристики внутренних волн чувствительны к этим факторам, тем не менее, резкий перепад в глубине залегания термоклина (бор) сохраняется на одном—двух километрах от места регистрации, а затем он трансформируется в солибор (ударная волна с ондуляциями). В рамках модели Гарднера исследован также собственно процесс возникновения бора из цуга внутренних волн в результате дисперсионного фокусирования. 

В рамках трехмерной конечно-элементной гидростатической модели QUODDY-4 выполнена серия численных экспериментов по воспроизведению стационарной циркуляции, а также поверхностных и внутренних М2 приливов в районе пролива Карские Ворота. Форсинг обуславливается либо стационарными перепадами уровня свободной поверхности на открытой границе исследуемой области, либо приливными колебаниями уровня на той же границе, либо и тем и другим одновременно. Показано, что предсказываемые моделью амплитуды внутренних приливных волн на поднятии дна в этом проливе составляют порядка 10—16 м при средних (за сизигийно-квадратурный цикл) условиях. Примечательно, что максимальные амплитуды внутренних приливных волн отмечаются там, где внутренние приливные волны распространяются навстречу стационарному потоку. Результаты моделирования воспроизводят также стационарный поток массы, ориентированный из Баренцева моря в Карское, слабое западное поверхностное течение Литке, тенденцию к образованию вырожденной амфидромии с центром на о. Вайгач и изменения приливных фаз от 0 до 30° и от 330 до 0° в прилегающих частях Баренцева и Карского морей соответственно. 

Сравниваются измерения течений и температуры на буях в Гибралтарском и Баб-эльМандебском проливах. В обоих проливах вертикальные смещения, вызванные полусуточными внутренними волнами, исключительно велики и в значительной степени подобны. Оба пролива характеризуются сильными двухслойными постоянными течениями противоположных направлений. Гидрологические режимы Гибралтарского и Баб-эль-Мандебского проливов весьма схожи. Каждый пролив соединяет внутреннее море с океаном. В обоих морях происходит сильное испарение, и оба моря получают мало пресной воды за счет стока рек. Испарение компенсируется притоком воды из океанов. За счет испарения в морях более соленая и плотная вода опускается в глубоководную часть и затем встречным течением вытекает через проливы в океан. На эту систему течений накладывается волна баротропного прилива, который генерирует внутреннюю приливную волну при обтекании течениями седловин поперечных хребтов в проливах. Внутренние приливы вблизи поперечных хребтов в проливах характеризуются амплитудами вертикальных смещений до 160—200 м. Внутренние приливы распространяются в обе стороны от хребтов, резко теряя свою энергию. Внутренний прилив возникает на фоне двухслойного течения, что усиливает амплитуду внутренних волн. Амплитуды внутренних приливов, распространяющихся против среднего потока усиливаются за счет сокращения длины волны.