Relationship Between the Continuity Equation and the Mass Density Diffusion Equation
Abstract
Mathematical model of fluid mechanics includes the so-called continuity equation, which follows from the mass conservation law. In recent decades this equation repeatedly subjected to revision. However, until now the common viewpoint is not yet developed. This paper examines the expediency of modification of the continuity equation. As an argument in favor of modifications we use a simple example of a problem that has no solution in the framework of the standard approach, i.e. in case of use of the standard continuity equation in the model of the fluid. The matter concerns modeling of evolution of the mass density jump in stationary fluid under the condition of stable stratification. The absence of solution means the presence of a contradiction in the problem posing. Such a contradiction is detected and its causes and ways to overcome it are studied. The latter, as it turns out, can be achieved by proper averaging of the fluid mechanics equations that needs to be done in view of the adopted parametric description of small-scale movements. The analysis of derivation of the system of fluid mechanics equations allows understanding, what requirements should satisfy possible modifications of the continuity equation. We also analyze the averaging procedure and describe the correct averaging of equations of the fluid model, the continuity equation including and without any extra assumptions like incompressibility. Current problem adjoins to the mass density diffusion equation, suggested earlier by P.S. Lineykin. We critically assess the derivation of this equation, and discuss its possible place in the system of fluid mechanics equations.
About the Author
M. Yu. Belevich
Saint-Petersburg Department of the P. P. Shirshov Institute of Oceanology of RAS
Russian Federation
Russian Federation
St.-Petersburg
References
1. Слезкин Н. А. О дифференциальных уравнениях вязкого газа // ДАН СССР. 1951. Т. 77. С. 205.
2. Валландер С. В. Уравнения динамики вязкого газа // ДАН СССР. 1951. Т. 78. С. 25
3. Шапошников И. Г. К вопросу об учете диффузионных явлений в уравнениях гидродинамики // ЖЭТФ. 1951. Т. 21 (11). C. 1309—1310.
4. Шапошников И. Г. О некоторых гидродинамических величинах для смеси // УФН. 1952. Т. XLVIII (1). С. 119—122.
5. Климонтович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука, 1990.
6. Климонтович Ю. Л. Статистическая теория открытых систем. М.: Янус, 1995.
7. Алексеев Б. В. Обобщенная больцмановская физическая кинетика // Теплофизика высоких температур. 1997. Т. 35 (1). С. 129—146.
8. Елизарова Т. Г., Шеретов Ю. В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41 (2). С. 239—255.
9. Елизарова Т. Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007.
10. Линейкин П. С. Основные вопросы динамической теории бароклинного слоя моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1957.
11. Belevich M. Causal description of heat and mass transfer // J. Phys. A: Math Gen. 2004. Т. 37. P. 3053—3069.
12. Pietrafesa L. J., Janovitz G. S. On the effects of boyancy flux on continental shelf circulation // J. Phys. Oceanogr. 1979. V. 9. P. 911—918.
13. Alekseev G. V., Johannessen O. M., Kovalevskii D. V. Development of Convective Motions under the Effect of Local Perturbations of Sea-Surface Density // Izvestiya Atmospheric and Oceanic Physics. 2001. V. 37 (3). P. 341—350.
14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: УРСС, 2006.
15. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1965. Т. 1.
16. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Пер. с англ. М.: Мир, 1973.
17. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963. Т. 1.
18. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.
19. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: УРСС, 2003.
20. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973. Т. 1.
21. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / Пер. с англ. М.: Мир, 1975.
22. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости / Пер. с англ. 2-е изд., стер. М.–Ижевск: РХД, 2001.
23. Каменкович В. М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1973.
Review
For citations:
Belevich M.Yu. Relationship Between the Continuity Equation and the Mass Density Diffusion Equation. Fundamental and Applied Hydrophysics. 2016;9(1):73-82. (In Russ.)
Views:
202
Email this article 