Обобщенное уравнение Кортевега—де Вриза для внутренних волн в двухслойной жидкости

Представлен вывод обобщенного уравнения Кортевега—де Вриза пятого порядка для внутренних волн в двухслойной жидкости с учетом поверхностного натяжения между слоями. При выводе уравнения потенциальность движений жидкости не предполагается, поэтому данный вывод может быть использован при рассмотрении волновых движений в вязкой жидкости, в жидкости с внешним вращением или при наличии сдвиговых потоков с завихренностью. Получены явные выражения для коэффициентов уравнения в зависимости от параметров среды: толщин слоев, плотностей жидкостей, коэффициента поверхностного натяжения. Показано, что при определенных сочетаниях параметров среды в полученном обобщенном уравнении как коэффициент квадратичной нелинейности, так и коэффициент дисперсии низшего порядка могут обращаться в ноль и менять знак. Особый интерес представляет ситуация, при которой они оба одновременно становятся почти нулевыми, а коэффициенты нелинейной дисперсии также оказываются пренебрежимо малыми — это возможно когда толщины слоев примерно одинаковы. В окрестности такой двойной критической точки выведенное уравнение сводится к так называемому уравнению Гарднера—Кавахары, обладающему солитонными решениями с осциллирующими асимптотиками. Это делает его привлекательным как с теоретической точки зрения, так и в плане практических приложений к задачам о течении тонких пленок несмешивающихся жидкостей. Характеристики течения при наличии солитонов сильно отличаются от ламинарного течения, что может приводить к нежелательным, а иногда и, наоборот, к положительным эффектам. Опираясь на выведенное обобщенное уравнение и зная его решения, можно предложить способ управления течением.

1. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 480 с.

2. Островский Л. А. Нелинейные внутренние волны во вращающемся океане // Океанология. 1978. Т. 18, вып. 2. С. 181—191.

3. Ostrovsky L. A., Stepanyants Yu. A. Nonlinear surface and internal waves in rotating fluids // Nonlinear Waves. 3. Physics and Astrophysics, Springer-Verlag, 1990. P. 106—128.

4. Grimshaw R. H. J., Ostrovsky L. A., Shrira V. I., Stepanyants Yu. A. Long nonlinear surface and internal gravity waves in a rotating ocean // Surveys in Geophysics. 1998. V. 19, N. 4. P. 289—338.

5. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova T. A generalised Korteweg–de Vries model of internal tide transformation in the coastal zone // J. Geophys. Res. 1999. V. 104, N. 18. P. 333—350.

6. Пелиновский Е. Н., Полухина О. Е., Лэмб К. Нелинейные внутренние волны в океане, стратифицированном по плотности и течению // Океанология. 2000. T. 40, № 6. С. 805—815.

7. Grimshaw R., Pelinovsky E., Poloukhina O. Higher-order Korteweg—de Vries models for internal solitary waves in a stratified shear flow with a free surface // Nonlinear Processes in Geophysics. 2002. V. 9. Р. 221— 235.

8. Ostrovsky L. A., Stepanyants Y. A. Internal solitons in laboratory experiments: Comparison with theoretical models // Chaos. 2005. V. 15. Р. 037111-1-28.

9. Apel J., Ostrovsky L. A., Stepanyants Y. A., Lynch J. F. Internal solitons in the ocean and their effect on underwater sound // J. Acoust. Soc. Am. 2007. V. 121, N. 2. P. 695—722.

10. Kakutani T., Matsuuchi K. Effect of viscosity on long gravity waves // J. Phys. Soc. Japan. 1975. V. 39. P. 237—246.

11. Lee Ch.-Y., Beardsley R. C. The generation of long nonlinear internal waves in a weakly stratified shear flows // J. Geophys. Res. 1974. Т. 79, N. 3. P. 453—457.

12. Kakutani T., Yamasaki N. Solitary waves on a two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 45, N. 2. P. 674— 679.

13. Бреховских Л. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982. 335 с.

14. Koop C., Butler G. An investigation of internal solitary waves in a two-fluid system // J. Fluid Mech. 1981. V. 112. P. 225—251.

15. Djordjevic V. D., Redekopp L. G. The fission and disintegration of internal solitary waves moving over twodimensional topography // J. Phys. Oceanogr. 1978. V. 8, N. 6. P. 1016—1024.

16. Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 33. P. 260—264.

17. Горшков К. А., Островский Л. А., Папко В. В. Взаимодействие и связанные состояния солитонов как классических частиц // ЖЭТФ. 1976. Т. 71, вып. 2. С. 585—593.

18. Gorshkov K. A., Ostrovsky L. A., Papko V. V., Pikovsky A. S. On the existence of stationary multisolitons // Phys. Lett. A. 1979. V. 74, N. 3—4. P. 177—179.

19. Kawahara T., Takaoka M. Chaotic motions in oscillatory soliton lattice // J. Phys. Soc. Japan. 1988. V. 57, N. 11. P. 3714—3732.