hydrophysicsФундаментальная и прикладная гидрофизикаFundamental and Applied Hydrophysics2073-66732782-5221St. Petersburg Research Center of the Russian Academy of Scienceshydrophysics-964Research ArticleФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОФИЗИКИFUNDAMENTAL ISSUES OF HYDROPHYSICSВолны Стокса на конечной глубинеStokes Waves at Finite DepthЧаликовД. В.ChalikovD. V.

Санкт-Петербург

Saint-Petersburg

dmitry-chalikov@yandex.ruБулгаковК. Ю.BulgakovK. Yu.

Санкт-Петербург

Saint-Petersburg

Санкт-Петербургский филиал Института океанологии им. П. П. Ширшова РАНРоссияDepartment of the P. P. Shirshov Institute of Oceanology of RASRussian Federation20142711202274315Copyright © Чаликов Д.В., Булгаков К.Ю., 20222022Чаликов Д.В., Булгаков К.Ю.Chalikov D.V., Bulgakov K.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://hydrophysics.spbrc.ru/jour/article/view/964

Обсуждаются основные свойства волн Стокса на глубокой воде. Рассмотрены различные методы решения уравнений гравитационных волн на поверхности воды. Определяется система конформных координат связанных с поверхностью, приводится стационарная версия полных уравнений в конформной, движущейся с неизвестной скоростью, системе координат. Дается алгоритм очень быстрого численного решения стационарных одномерных потенциальных уравнений, описывающих волны Стокса на произвольной глубине. Исследуются следующие характеристики численных экспериментов с этим алгоритмом для случая глубокой воды: время расчета, число итераций, фазовая скорость, потенциальная, кинетическая и полная энергии, асимметрия, эксцесс. Выделена область существования решения в координатах глубины и крутизны волны Стокса. Исследуются следующие геометрические характеристики волн Стокса как функции глубины и крутизны: вертикальная асимметрия, максимальное значение локальной крутизны, максимальное локальное значение 2-й производной отклонения поверхности от невозмущенной поверхности от горизонтальной декартовой координаты, отношение высоты волны в гребне к глубине подошвы, а также фазовая скорость. Показаны профили волны для различных глубин при интегральной крутизне 0.01. Обсуждается возможная применимость полученных результатов.

The main properties of the Stokes waves are considered. Several methods of numerical investigation of wave dynamics are discussed. A conformal surface-following coordinate system is defined. Stationary potential waves equation in this coordinate system are represented. Algorithm of very fast numerical solving of stationary one-dimensional potential equations for the case of optional depth is described. The characteristics of numerical runs for the deep depth case are investigated: time of experiments, iteration number, potential, kinetic and total energy, asymmetry, excess. Area in coordinates of depth and steepness where solution exists is specificated. The geometrical characteristics of the Stokes waves as function of steepness and depth are investigated: asymmetry, maximum of the local steepness, maximum of the local second derivate and also phase velocity. The forms of waves for steepness 0.01 are shown. Possible application of obtained results is considered.

волна Стокса на конечной глубинеконформное преобразованиечисленное решениеобласть неустойчивостиStokes waves at finite depthconformal mappingnumerical solutionarea of instabilityРабота была поддержана грантом РФФИ 11-05-0052-а.ReferencesStokes G. G. On the theory of oscillatory waves // Trans. Cambridge Philos. Soc. 1847. V. 8. P. 441—445.Stokes G. G. On the theory of oscillatory waves. Trans. Cambridge Philos. Soc. 1847, 8, 441—445.Crapper G. D. An exact solution for progressive capillary waves of arbitrary amplitude // J. Fluid Mech. 1957. V. 96. P. 417—445.Crapper G. D. An exact solution for progressive capillary waves of arbitrary amplitude. J. Fluid Mech. 1957, 96, 417—445.Clamond D., Grue J. A fast method for fully nonlinear water wave dynamics // J. Fluid Mech. 2001. V. 447. P. 337—355.Clamond D., Grue J. A fast method for fully nonlinear water wave dynamics. J. Fluid Mech. 2001, 447, 337—355.Grilli S., Guyenne P., Dias F. A fully nonlinear model for three-dimensional overturning waves over arbitrary bottom // Int. J. Num. Methods Fluids. 2001. V. 35. P. 829—867.Grilli S., Guyenne P., Dias F. A fully nonlinear model for three-dimensional overturning waves over arbitrary bottom. Int. J. Num. Methods Fluids. 2001, 35, 829—867.Clamond D., Fructus D., Grue J., Krisitiansen O. An efficient method for three-dimensional surface wave simulations. Part II: Generation and absorption // Journ. Comp. Physics. 2005. V. 205. P. 686—705.Clamond D., Fructus D., Grue J., Krisitiansen O. An efficient method for three-dimensional surface wave simulations. Part II: Generation and absorption. Journ. Comp. Physics. 2005, 205, 686—705.Fochesato C., Dias F., Grill S. Wave energy focusing in a three-dimensional numerical wave tank // Proc. R. Soc. 2006. V. 462, N 2066. P. 2715—2735.Fochesato C., Dias F., Grill S. Wave energy focusing in a three-dimensional numerical wave tank. Proc. R. Soc. 2006, 462, 2066, 2715—2735.Zakharov V. E. Stability of periodic waves of finite amplitude on the surface of a deep fluid // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 1968. V. 9. P. 190—194.Zakharov V. E. Stability of periodic waves of finite amplitude on the surface of a deep fluid. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 1968, 9, 190—194.Dommermuth D., Yue D. A high-order spectral method for the study of nonlinear gravity waves // J. Fluid Mech. 1987. V. 184. P. 267—288.Dommermuth D., Yue D. A high-order spectral method for the study of nonlinear gravity waves. J. Fluid Mech. 1987, 184, 267—288.West B., Brueckner K., Janda R., Milder M., Milton R. A New Numerical Method for Surface Hydrodynamics // J. Geophys. Res. 1987. V. 92. P. 11803—11824.West B., Brueckner K., Janda R., Milder M., Milton R. A New Numerical Method for Surface Hydrodynamics. J. Geophys. Res. 1987, 92, 11803—11824.Tanaka M. A method of studying nonlinear random field of surface gravity waves by direct numerical simulation // Fluid Dyn. Res. 2001. V. 28. P. 41—60.Tanaka M. A method of studying nonlinear random field of surface gravity waves by direct numerical simulation. Fluid Dyn. Res. 2001, 28, 41—60.Tanaka M. Verification of Hasselmann’s energy transfer among surface gravity waves by direct numerical simulations of primitive equations // J. Fluid Mech. 2001. V. 444. P. 199—221.Tanaka M. Verification of Hasselmann’s energy transfer among surface gravity waves by direct numerical simulations of primitive equations. J. Fluid Mech. 2001, 444, 199—221.Ducrozet G., Bonnefoy F., LeTouze D., Ferrant P. 3-DHOS simulations of extreme waves in open seas // Nat. Hazards Earth System Sci. 2007. V. 7. P. 109—122.Ducrozet G., Bonnefoy F., LeTouze D., Ferrant P. 3-DHOS simulations of extreme waves in open seas. Nat. Hazards Earth System Sci. 2007, 7, 109—122.Whitney J. C. The numerical solution of unsteady free-surface flows by conformal mapping // Proc. Second Inter. Conf. on Numer. Fluid Dynamics. Springer-Verlag, 1971. P. 458—462.Whitney J. C. The numerical solution of unsteady free-surface flows by conformal mapping. Proc. Second Inter. Conf. on Numer. Fluid Dynamics. Springer-Verlag, 1971. 458—462.Овсянников Л. В. Плоская задача о неустановившемся движении жидкости со свободными границами // Динамика сплошной среды. 1971. 8. С. 22—26.Ovsyannikov L. V. Float problem of non-stationary movement of fluid with the free boundaries. Dinamika sploshnoy sredy. 1971, 8, 22—26. (in Russian)Kano T., Nishida T. Sur le ondes de surface de l’eau avec une justification mathematique des equations des ondes en eau peu profonde // J. Math, Kyoto Univ. 1979. V. 19, N 2. P. 335—370.Kano T., Nishida T. Sur le ondes de surface de l’eau avec une justification mathematique des equations des ondes en eau peu profonde. J. Math, Kyoto Univ. 1979, 19, 2, 335—370.Fornberg B. A numerical method for conformal mapping // SIAM, J. Sci. Comput. 1980. V. 1, N 3. P. 386— 400.Fornberg B. A numerical method for conformal mapping. SIAM, J. Sci. Comput. 1980, 1, 3. 386—400.Tanveer S. Singularities in water waves and Rayleigh-Taylor instability // Proc. R. Soc. 1991. V. 435, N 1893. P. 137—158.Tanveer S. Singularities in water waves and Rayleigh-Taylor instability. Proc. R. Soc. 1991, 435, 1893. 137—158.Maklakov D. V. Almost-highest gravity waves on water of finite depth // Eur. J. Appl. Math. 2002. 13. 67.Maklakov D. V. Almost-highest gravity waves on water of finite depth. Eur. J. Appl. Math. 2002, 13, 67.Chalikov D., Sheinin D. Numerical modeling of surface waves based on principal equations of potential wave dynamics // Technical Note. NOAA/NCEP/OMB: 1996. 54 p.Chalikov D., Sheinin D. Numerical modeling of surface waves based on principal equations of potential wave dynamics. Technical Note. NOAA/NCEP/OMB: 1996, 54 p.Chalikov D., Sheinin D. Direct Modeling of One-dimensional Nonlinear Potential Waves // Advances in Fluid Mechanics. 1998. V. 17. P. 207—258.Chalikov D., Sheinin D. Direct Modeling of One-dimensional Nonlinear Potential Waves. Advances in Fluid Mechanics. 1998, 17, 207—258.Chalikov D., Sheinin D. Modeling of Extreme Waves Based on Equations of Potential Flow with a Free Surface // Journ. Comp. Phys. 2005. V. 210. P. 247—273.Chalikov D., Sheinin D. Modeling of Extreme Waves Based on Equations of Potential Flow with a Free Surface. Journ. Comp. Phys. 2005, 210, 247—273.Шейнин Д. А., Чаликов Д. В. Гидродинамическое моделирование потенциальных поверхностных волн // Труды международной теоретической конференции. «Проблемы гидрометеорологии и окружающей среды на пороге XXI века». Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 2000. С. 305—337.Sheinin D., Chalikov D. Hydrodynamic modeling of potential surface waves. Problem of hydrometeorology and environment on the eve of XXI century, Proceeding of international theoretical conference. St.- Petersburg, Gidrometeoizdat. 2000, 305—337. (in Russian)Chalikov D. Statistical properties of nonlinear one-dimensional wave fields // Nonlinear processes in geophysics. 2005. V. 12. P. 1—19.Chalikov D. Statistical properties of nonlinear one-dimensional wave fields. Nonlinear processes in geophysics. 2005, 12, 1—19.Чаликов Д. В. Трансформация гармонических волн на глубокой воде // Фундаментальная и прикладная геофизика. 2010. T. 9, № 3. С. 14—21.Chalikov D. V. Harmonic Wave Deep Water Transformation. Fundamentalnaya i prikladnaya gidrofizika. 2010, 9, 3, 14—21. (in Russian)Drennan W. M., Hui W. H., Tenti G. Accurate calculation of Stokes wave near breaking // C. Graham, S. K. Malik. Continuum Mechanics and its Applications. Washington DC: Hemisphere Publishing, 1988. P. 463—473.Drennan W. M., Hui W. H., Tenti G. Accurate calculation of Stokes wave near breaking. Eds C. Graham, S. K. Malik. Continuum Mechanics and its Applications. Washington DC, Hemisphere Publishing, 1988. 463—473.Longuet-Higgins M. S., Tanaka M. On the crest instabilities of steep surface waves // J Fluid. Mech. 1997. V. 336. P. 51—68.Longuet-Higgins M.S., Tanaka M. On the crest instabilities of steep surface waves // J Fluid. Mech. 1997. V. 336. P. 51—68.Longuet-Higgins M. S. The Instabilities of Gravity Waves of Finite Amplitude in Deep Water. II Subharmonics // Proc. Roy. Soc. Lond. 1978. V. 360. P. 489—505.Longuet-Higgins M. S. The Instabilities of Gravity Waves of Finite Amplitude in Deep Water. II Subharmonics. Proc. Roy. Soc. Lond. 1978, 360, 489—505.Benjamin T. B., Feir J. E. The Disintegration of Wave Trains in Deep Water // J. Fluid. Mech. 1967. V. 27. P. 417—430.Benjamin T. B., Feir J. E. The Disintegration of Wave Trains in Deep Water. J. Fluid. Mech. 1967, 27, 417— 430.Chalikov D. Simulation of Benjamin-Feir instability and its consequences // Phys of Fluid. 2009. V. 19. 016602-15. doi: 10.1063/1.2432303.Chalikov D. Simulation of Benjamin-Feir instability and its consequences. Phys of Fluid. 2009, 19, 016602- 15. doi: 10.1063/1.2432303.Куркин А. А., Пелиновский Е. Н. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. Нижний Новгород: ННГУ, 2004. 157 с.Kurkin A. A., Pelinovskij E. N. Freak-waves: facts, theory and modelling. Nizhnij Novgorod, NNGU, 2004. 157 p. (in Russian)Chalikov D. Freak waves: their occurrence and probability // Phys of Fluid. 2009. V. 21, 076602-18. doi: 10.1063/1.3175713.Chalikov D. Freak waves: their occurrence and probability. Phys of Fluid. 2009, 21, 076602-18. doi: 10.1063/1.3175713.Чаликов Д. В. Статистика экстремальных ветровых волн // Фундаментальная и прикладная геофизика. 2009. Т. 5, № 3. С. 4—24.Chalikov D. V. Statistics of Extreme Wind Waves. Fundamentalnaya i prikladnaya gidrofizika. 2009, 5, 3, 4—24. (in Russian)Zakharov V.E., Dyachenko A.I., Vasilyev O.A. New method for numerical simulation of a nonstationary potential flow of incompressible fluid with a free surface // Eur. J. Mech. B/Fluids. 2002. V. 21. P. 283—291.Zakharov V. E., Dyachenko A. I., Vasilyev O. A. New method for numerical simulation of a nonstationary potential flow of incompressible fluid with a free surface. Eur. J. Mech. B/Fluids. 2002, 21, 283—291.Zakharov V. E., Dyachenko A. I., Prokofiev A. O. Freak waves as nonlinear stage of Stokes wave modulation instability // Eur. J. Mech. B/Fluids. 2006. V. 25, P. 677—692.Zakharov V. E., Dyachenko A. I., Prokofiev A. O. Freak waves as nonlinear stage of Stokes wave modulation instability. Eur. J. Mech. B/Fluids. 2006, 25, 677—692.Dyachenko A. I., Zakharov V. E. Modulation instability of Stokes wave – freak wave // JETP Letters. 2005. V. 81. P. 255—259.Dyachenko A. I., Zakharov V. E. Modulation instability of Stokes wave – freak wave. JETP Letters. 2005, 81, 255—259.Dyachenko A. I., Zakharov V. E. On the Formation of Freak Waves on the Surface of Deep Water // JETP Lett. 2008. V. 88. P. 307—311.Dyachenko A. I., Zakharov V. E. On the Formation of Freak Waves on the Surface of Deep Water. JETP Lett. 2008, 88, 307—311.Шамин Р. В. О существовании гладких решений уравнений Дьяченко, описывающих неустановившиеся течения идеальной жидкости со свободной поверхностью // Доклады Академии наук. 2006. Т. 406, № 5. С. 112—113.Shamin R. V. On the Existence of Smooth Solutions to the Dyachenko Equations Governing Free-Surface Unsteady Ideal Fluid Flow. Doklady Akademii Nauk. 2006, 73, 1, 112—113. (in Russian)Orszag S. A. Transform method for calculation of vector coupled sums. Application to the spectral form of vorticity equation // J. Аtmos. Sci. 1970. V. 27. P. 890—895.Orszag S. A. Transform method for calculation of vector coupled sums. Application to the spectral form of vorticity equation. J. Аtmos. Sci. 1970, 27, 890—895.Prosperetti A., Jacobs J. W. A numerical method for potential flow with a free surface // J. Comput. Phys. 1983. № 51. С. 365—386.Prosperetti A., Jacobs J. W. A numerical method for potential flow with a free surface. J. Comput. Phys. 1983, 51, 365—386.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.