hydrophysicsФундаментальная и прикладная гидрофизикаFundamental and Applied Hydrophysics2073-66732782-5221St. Petersburg Research Center of the Russian Academy of Scienceshydrophysics-860Research ArticleФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОФИЗИКИFUNDAMENTAL ISSUES OF HYDROPHYSICSТрансформация поверхностных и внутренних волн над донным уступом. ОбзорTransformation of Surface and Internal Waves Over the Bottom Step. ReviewКуркинА. А.KurkinA. A.СёминС. В.SeminS. V.СтепанянцЮ. А.StepanyantsY. A.Yury.Stepanyants@usq.edu.auНижегородский государственный технический университет им. Р. Е. АлексееваРоссияNizhny Novgorod State Technical UniversityRussian FederationНижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева; Университет Южного КвинслендаРоссияNizhny Novgorod State Technical University; University of Southern QueenslandRussian Federation20151911202283319Copyright © Куркин А.А., Сёмин С.В., Степанянц Ю.А., 20222022Куркин А.А., Сёмин С.В., Степанянц Ю.А.Kurkin A.A., Semin S.V., Stepanyants Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://hydrophysics.spbrc.ru/jour/article/view/860

Представлен краткий обзор работ по трансформации поверхностных и внутренних гравитационных волн над донным уступом. Обсуждается обобщение известных формул Лэмба для расчета коэффициентов трансформации, полученных в длинноволновом приближении, на случай волн произвольной длины в жидкости конечной глубины. Дано описание строго подхода к расчету коэффициентов трансформации в линейном приближении как для поверхностных, так и для внутренних волн в двухслойной жидкости и отмечены трудности, связанные с использованиием этого подхода. Рассмотрены различные приближенные подходы и их соответствие строгой теории, а также экспериментальным и численным данным. В рамках строгого подхода приведены расчеты не только коэффициентов трансформации бегущих волн, но также и коэффициентов возбуждения прижатых к уступу волн. Найдено, что длина несущей волны узкополосного пакета после прохождения над уступом изменяется пропорционально фазовой скорости, а длина огибающей изменяется пропорционально групповой скорости. Представлено сравнение теоретических результатов с численными данными и лабораторными экспериментами.

A brief overview of works on transformation of surface and internal gravity waves over a bottom step is presented. The generalization of Lamb formulae for the transformation coefficients derived in the longwave approximation is discussed for waves of arbitrary length in the fluid of a finite length. The rigorous approach to calculate the transformation coefficients in the linear approximation is described both for the surface and internal waves in two-layer fluid. The problems associated with the application of the rigorous approach are noticed. The various approximate approaches are considered, as well as their compliance with the rigorous theory and numerical and experimental results. Within the framework of the rigorous approach the transformation coefficients of travelling waves and the excitation coefficients of evanescent modes are calculated. It is shown that wavelength of a quasi-monochromatic wavetrain changes after transformation on a bottom step proportionally to the phase speed, whereas the length of the envelope changes proportionally to the group speed. A comparison of theoretical results with numerical data and laboratory experiments is presented. 

волны на водевнутренние волнытрансформация волнкоэффициент прохождениякоэффициент отраженияволновой пакеттрансформация волн на шельфеwater wavesinternal waveswave transformationtransmission coefficientreflection coefficientwave packetwaves transformation on the shelfПредставленные результаты получены в рамках выполнения государственного задания в сфере научной деятельности (Задание № 2014/133 («организация проведения научных исследований») и Задание № 5.30.2014/K)ReferencesЛамб Г. Гидродинамика. М.: ОГИЗ, 1947. 330 с.Lamb G. Hydrodynamics. Moscow, OGIZ, 1947. 330 p. (in Russian).Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Fission of a weakly nonlinear interfacial solitary wave at a step // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 2008. V. 102. P. 179–194.Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Fission of a weakly nonlinear interfacial solitary wave at a step. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 2008, 102, 179—194.Пелиновский Е. Н. О трансформации одиночной волны на шельфе с горизонтальным дном // Теоретические и экспериментальные исследования по проблеме цунами. М.: Наука. 1977. С. 61—63.Pelinovsky E. N. About of the transformation of a solitary wave on the shelf with horizontal bottom. Theoretical and experimental research on the tsunami problem. Moscow, Nauka, 1977. P. 61—63. (in Russian).Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука. 1977. 254 c.Sretensky L. N. Theory of wave motions of fluid. Moscow, Nauka, 1977. 254 p. (in Russian).Бреховских Л. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982. 335 с.Brekhovskikh L. M., Goncharov V. V. Introduction in the mechanics of continuum mediums. Moscow, Nauka, 1982. 335 p. (in Russian).Bartolomeusz E. F. The reflection of long waves at a step // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1958. P. 106—118.Bartolomeusz E. F. The reflection of long waves at a step. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1958. P. 106—118.Germain J. P. Coefficients de reflexion et de transmission en eau peu profonde // Rozprawy Hydrotechniczne. 1984. Issue 46. P. 5—13.Germain J. P. Coefficients de reflexion et de transmission en eau peu profonde. Rozprawy Hydrotechniczne. 1984, 46, 5—13.Крылов Ю. М. Дифракция волн в жидкости // Тр. Гос. океанографического института. 1949. Вып. 18. С. 13—18.Krylov Yu. M. Diffraction of waves in a liquid. Proceedings of the state Institute of Oceanography. 1949, 18, 13—18 (in Russian).Takano K. Effets d’un obstacle parallelepipedique sur la propagation de la houle (The effect of a rectangular obstacle on wave propagation) // La Houille Blanche. 1960. V. 15. P. 247—267.Takano K. Effets d’un obstacle parallelepipedique sur la propagation de la houle (The effect of a rectangular obstacle on wave propagation). La Houille Blanche. 1960, 15, 247—267.Takano K. Effet d’un changement brusque de profondeur sur une houle irrotationelle // La mer. 1967. V. 5. N. 2. P. 100—116.Takano K. Effet d’un changement brusque de profondeur sur une houle irrotationelle. La mer. 1967, 5, 2, 100—116.Newman J. N. Propagation of water waves over an infinite step // J. Fluid Mech. 1965. V. 23. Pt. 2. P. 339—415.Newman J. N. Propagation of water waves over an infinite step. J. Fluid Mech. 1965, 23, 2, 339—415.Massel S. R. Harmonic generation by waves propagating over a submerged step // Coastal Eng. 1983. V. 7. P. 357—380.Massel S. R. Harmonic generation by waves propagating over a submerged step. Coastal Eng. 1983, 7, 357—380.Massel S. R. Hydrodynamics of the coastal zone. Amsterdam: Elsvier, 1989. 95 p.Massel S. R. Hydrodynamics of the coastal zone. Amsterdam, Elsivier, 1989. 95 p.Rey V., Belzons M., Guazzellit E. Propagation of surface gravity waves over a rectangular submerged bar // J. Fluid Mech. 1992. V. 235. P. 453—479.Rey V., Belzons M., Guazzellit E. Propagation of surface gravity waves over a rectangular submerged bar. J. Fluid Mech. 1992, 235, 453—479.Нуднер И. С. Деформация волн прямоугольным уступом // Труды коорд. совещ. по гидротехнике. Л.: ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева. 1973. Вып. 84. P. 75—80.Kurkin A. A., Semin S. V., Stepanyants Yu. A. Transformation of Surface Waves over a Bottom Step. Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 2015, 51, 2, 214—223.Куркин А. А., Семин С. В., Степанянц Ю. А. Трансформация поверхностных волн над донным уступом // Известия РАН. ФАО. 2015. Т. 51, № 2. C. 242—252.Newman J. N. Propagation of water waves past long two-dimensional obstacles. J. Fluid Mech. 1965, 23, 1, 23—29.Newman J. N. Propagation of water waves past long two-dimensional obstacles // J. Fluid Mech. 1965. V. 23, Pt. 1. P. 23—29.Kreisel J. N. Surface waves. Quart. Appl. Math. 1949, 7, 21.Kreisel J. N. Surface waves // Quart. Appl. Math. 1949. V. 7. P. 21.Mei C. C., Black J. L. Scattering of surface waves by rectangular obstacles in waters of finite depth. J. Fluid Mech. 1969, 38, 499—511.Miles J. W. Surfaсe-wave scattering matrix for a shelf // J. Fluid Mech. 1967. V. 28, Pt. 4. P. 755—767.Miles J. W. Surfaсe-wave scattering matrix for a shelf. J. Fluid Mech. 1967, 28, 4, 755—767.Mei C. C., Black J. L. Scattering of surface waves by rectangular obstacles in waters of finite depth // J. Fluid Mech. 1969. V. 38. P. 499—511.Marshal J. S., Naghdi P. M. Wave reflection and Transmission by steps and rectangular obstacles in channels of finite depth. Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 1990, 1, 287—301.Marshal J. S., Naghdi P. M. Wave reflection and Transmission by steps and rectangular obstacles in channels of finite depth // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 1990. Issue 1. P. 287—301.Green A. E., Naghdi P. M. Directed fluid sheets. Proc. Roy. Soc. London. Ser. 1976, 347, 447—473.Green A. E., Naghdi P. M. Directed fluid sheets // Proc. Roy. Soc. London. Ser. 1976. V. 347. P. 447—473.Green A. E., Naghdi P. M. Water waves in a nonhomogeneous incompressible fluid. J. Appl. Mech. 1977, 44, 523—528.Green A. E., Naghdi P. M. Water waves in a nonhomogeneous incompressible fluid // J. Appl. Mech. 1977. V. 44. P. 523—528.Green A. E., Naghdi P. M. A nonlinear theory of water waves for finite and infinite depths. Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. 1986, 320, 37—70.Green A. E., Naghdi P. M. A nonlinear theory of water waves for finite and infinite depths // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. 1986. V. 320. P. 37—70.Green A. E., Naghdi P. M. Further developments in a nonlinear theory of water waves for finite and infinite depths. Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. 1987, 324, 47—72.Green A. E., Naghdi P. M. Further developments in a nonlinear theory of water waves for finite and infinite depths // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. 1987. V. 324. P. 47—72.Giniyatullin A. R., Kurkin A. A., Semin S. V., Stepanyants Y. A. Transformation of narrowband wavetrains of surface gravity waves passing over a bottom step. Math. Model. Natural Proc. 2014, 9, 5, 32—41.Giniyatullin A. R., Kurkin A. A., Semin S. V., Stepanyants Y. A. Transformation of narrowband wavetrains of surface gravity waves passing over a bottom step // Math. Model. Natural Proc. 2014. V. 9, N. 5 P. 32—41.Pelinovsky E. N. Hydrodynamics of tsunami waves. N. Novgorod, IAP RAS. 1996, 276 p. (in Russian).Пелиновский Е. Н. Гидродинамика волн цунами. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1996. 276 c.Mirchina N. R., Pelinovski E. N. Nonlinear transformation of long waves at a bottom step. J. Korean Society of Coastal and Ocean Engineers. 1992, 4, 3, 161—167.Mirchina N. R., Pelinovski E. N. Nonlinear transformation of long waves at a bottom step // J. Korean Society of Coastal and Ocean Engineers. 1992. V. 4, N. 3. P. 161—167.Djordjevic V. D., Redekopp L. G. The fission and disintegration of internal solitary waves moving over two-dimensional topography. J. Phys. Oceanogr. 1978, 8, 1016—1024.Djordjevic V. D., Redekopp L. G. The fission and disintegration of internal solitary waves moving over two-dimensional topography // J. Phys. Oceanogr. 1978. V. 8. P. 1016—1024.Pelinovsky E. N. et al. Solitary wave transformation on the underwater step: theory and numerical experiments. Applied Math Computations. 2010, 217, 4, 1704—1718.Pelinovsky E. N. et al. Solitary wave transformation on the underwater step: theory and numerical experiments // Applied Math Computations. 2010. V. 217, N. 4. P. 1704—1718.Seabra-Santos F. J., Renouard D. P., Temperville A. M. Numerical and experimental study of the transformation of a solitary wave over a shelf or isolated obstacle. J. Fluid Mech. 1987, 176, 117—134.Seabra-Santos F. J., Renouard D. P., Temperville A. M. Numerical and experimental study of the transformation of a solitary wave over a shelf or isolated obstacle // J. Fluid Mech. 1987. V. 176. P. 117—134.Losada M. A., Vidal C., Medina R. Experimental study of the evolution of a solitary wave at an abrupt junction. J. Geophys. Res. 1989, 94, 14557—14566.Losada M. A., Vidal C., Medina R. Experimental study of the evolution of a solitary wave at an abrupt junction // J. Geophys. Res. 1989. V. 94. P. 14557—14566.Ablowitz M. J., Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. Philadelphia, SIAM, 1981.Ablowitz M. J., Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. Philadelphia: SIAM, 1981.Adcroft J. et al. MITgcm User Manual. MIT Department of EAPS. 2008. 464 p.Adcroft J. et al. MITgcm User Manual. MIT Department of EAPS. 2008. 464 p.Marshall J. et al. A Fnite-volume, incompressible navier stokes model for studies of the ocean on parallel computers. J. Geophys. Res. 1997, 102, 5753—5766.Marshall J. et al. A Fnite-volume, incompressible navier stokes model for studies of the ocean on parallel computers // J. Geophys. Res. 1997. V. 102. P. 5753—5766.Marshall J. et al. Hydrostatic, quasi-hydrostatic, and non-hydrostatic ocean modeling. J. Geophys. Res. 1997, 102, 5733— 5752.Marshall J. et al. Hydrostatic, quasi-hydrostatic, and non-hydrostatic ocean modeling // J. Geophys. Res. 1997. V. 102. P. 5733—5752.Stepanyants Yu. A. About of the propagation of solitons in an inhomogeneous long line. Radiotechnics and Electronics. 1977, 22, 5, 995—1002 (in Russian).Степанянц Ю. А. О распространении солитона в неоднородной длинной линии // Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22, № 5. C. 995—1002.Nudner I. S. Wave deformation by a rectangular bench. Proceedings of the coordination meeting of hydraulic engineering. L., VNIIG. n.a. B.E. Vedeneyeva. 1973, 84, 75—80 (in Russian).Churaev E. N., Semin S. V., Stepanyants Y. A. Transformation of internal waves passing over a bottom step // J. Fluid Mech. 2015. V. 368. P. R3-1—R3-11.Churaev E. N., Semin S. V., Stepanyants Y. A. Transformation of internal waves passing over a bottom step. J. Fluid Mech. 2015, 368, R3-1—R3-11.Семин С. В. Трансформация поверхностных и внутренних волн над донным уступом. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева. Нижний Новгород, 2015. 146 с.Semin S. V. Transformation of surface and internal waves over the bottom step. Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences. Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev, N. Novgorod, 2015. 146 p. (in Russian)Maderich V. et al. Interaction of a large amplitude interfacial solitary wave of depression with a bottom step // Phys. Fluids. 2010. V. 22. P. 076602.Maderich V. et al. Interaction of a large amplitude interfacial solitary wave of depression with a bottom step. Phys. Fluids. 2010, 22, 076602.Talipova T. et al. Internal solitary wave transformation over a bottom step: Loss of energy // Phys. Fluids. 2013. V. 25. P. 032110.Talipova T. et al. Internal solitary wave transformation over a bottom step: Loss of energy. Phys. Fluids. 2013, 25, 032110.Apel J., Ostrovsky L. A., Stepanyants Y. A., Lynch J. F. Internal solitons in the ocean and their effect on underwater sound // J. Acoust. Soc. Am. 2007. V. 121. N. 2. P. 695—722.Apel J., Ostrovsky L. A., Stepanyants Y. A., Lynch J. F. Internal solitons in the ocean and their effect on underwater sound. J. Acoust. Soc. Am. 2007, 121, 2, 695—722.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.