hydrophysicsФундаментальная и прикладная гидрофизикаFundamental and Applied Hydrophysics2073-66732782-5221St. Petersburg Research Center of the Russian Academy of Scienceshydrophysics-815Research ArticleФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОФИЗИКИFUNDAMENTAL ISSUES OF HYDROPHYSICSСвязь уравнений неразрывности и диффузии плотностиRelationship Between the Continuity Equation and the Mass Density Diffusion EquationБелевичМ. Ю.BelevichM. Yu.

Санкт-Петербург

St.-Petersburg

mbelevich@yahoo.comСанкт-Петербургский филиал Института океанологии им. П. П. Ширшова РАНРоссияSaint-Petersburg Department of the P. P. Shirshov Institute of Oceanology of RASRussian Federation201617112022917382Copyright © Белевич М.Ю., 20222022Белевич М.Ю.Belevich M.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://hydrophysics.spbrc.ru/jour/article/view/815

Математическая модель механики жидкости включает в себя и так называемое уравнение неразрывности, являющееся следствием закона сохранения массы. В последние десятилетия вид этого уравнения неоднократно подвергался ревизии. Однако до сегодняшнего дня общая точка зрения все еще не выработана. В настоящей работе обсуждается целесообразность модификации уравнения неразрывности. Аргументом в пользу модификации служит простой пример задачи, не имеющей решения в рамках стандартного подхода, т. е. в случае использования в модели жидкости стандартного уравнения неразрывности. Речь идет о моделировании выравнивания скачка плотности в покоящейся жидкости при условии устойчивой стратификации. Отсутствие решения означает противоречие в постановке задачи. Такое противоречие обнаруживается, изучаются причины его возникновения, а также пути преодоления. Последнее, как выясняется, может быть достигнуто в результате корректного осреднения системы уравнений гидромеханики, что необходимо делать ввиду принимаемого параметрического описания мелкомасштабных движений. Анализ процедуры вывода системы уравнений механики жидкости позволяет понять, какие требования следует предъявлять к возможной модификации уравнения неразрывности. Анализируется также процедура осреднения и описывается корректное осреднение уравнений модели жидкости, включая уравнение неразрывности, без каких-либо дополнительных предположений типа несжимаемости. К описываемой проблеме примыкает предложенное П.С. Линейкиным уравнение диффузии плотности. В работе критически оценивается вывод этого уравнения и обсуждается его возможное место в системе уравнений гидромеханики.

Mathematical model of fluid mechanics includes the so-called continuity equation, which follows from the mass conservation law. In recent decades this equation repeatedly subjected to revision. However, until now the common viewpoint is not yet developed. This paper examines the expediency of modification of the continuity equation. As an argument in favor of modifications we use a simple example of a problem that has no solution in the framework of the standard approach, i.e. in case of use of the standard continuity equation in the model of the fluid. The matter concerns modeling of evolution of the mass density jump in stationary fluid under the condition of stable stratification. The absence of solution means the presence of a contradiction in the problem posing. Such a contradiction is detected and its causes and ways to overcome it are studied. The latter, as it turns out, can be achieved by proper averaging of the fluid mechanics equations that needs to be done in view of the adopted parametric description of small-scale movements. The analysis of derivation of the system of fluid mechanics equations allows understanding, what requirements should satisfy possible modifications of the continuity equation. We also analyze the averaging procedure and describe the correct averaging of equations of the fluid model, the continuity equation including and without any extra assumptions like incompressibility. Current problem adjoins to the mass density diffusion equation, suggested earlier by P.S. Lineykin. We critically assess the derivation of this equation, and discuss its possible place in the system of fluid mechanics equations.

уравнение неразрывностиуравнение диффузии плотностипроцедура осредненияthe continuity equationthe mass density diffusion equationthe averaging procedureВ заключение хочу выразить признательность коллегам Н. Е. Вольцингеру, Б. А. Кагану и А. С. Сафраю за помощь в работе и полезные обсуждения.ReferencesСлезкин Н. А. О дифференциальных уравнениях вязкого газа // ДАН СССР. 1951. Т. 77. С. 205.Слезкин Н. А. О дифференциальных уравнениях вязкого газа // ДАН СССР. 1951. Т. 77. С. 205.Валландер С. В. Уравнения динамики вязкого газа // ДАН СССР. 1951. Т. 78. С. 25Валландер С. В. Уравнения динамики вязкого газа // ДАН СССР. 1951. Т. 78. С. 25Шапошников И. Г. К вопросу об учете диффузионных явлений в уравнениях гидродинамики // ЖЭТФ. 1951. Т. 21 (11). C. 1309—1310.Шапошников И. Г. К вопросу об учете диффузионных явлений в уравнениях гидродинамики // ЖЭТФ. 1951. Т. 21 (11). C. 1309—1310.Шапошников И. Г. О некоторых гидродинамических величинах для смеси // УФН. 1952. Т. XLVIII (1). С. 119—122.Шапошников И. Г. О некоторых гидродинамических величинах для смеси // УФН. 1952. Т. XLVIII (1). С. 119—122.Климонтович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука, 1990.Климонтович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука, 1990.Климонтович Ю. Л. Статистическая теория открытых систем. М.: Янус, 1995.Климонтович Ю. Л. Статистическая теория открытых систем. М.: Янус, 1995.Алексеев Б. В. Обобщенная больцмановская физическая кинетика // Теплофизика высоких температур. 1997. Т. 35 (1). С. 129—146.Алексеев Б. В. Обобщенная больцмановская физическая кинетика // Теплофизика высоких температур. 1997. Т. 35 (1). С. 129—146.Елизарова Т. Г., Шеретов Ю. В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41 (2). С. 239—255.Елизарова Т. Г., Шеретов Ю. В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41 (2). С. 239—255.Елизарова Т. Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007.Елизарова Т. Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007.Линейкин П. С. Основные вопросы динамической теории бароклинного слоя моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1957.Линейкин П. С. Основные вопросы динамической теории бароклинного слоя моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1957.Belevich M. Causal description of heat and mass transfer // J. Phys. A: Math Gen. 2004. Т. 37. P. 3053—3069.Belevich M. Causal description of heat and mass transfer // J. Phys. A: Math Gen. 2004. Т. 37. P. 3053—3069.Pietrafesa L. J., Janovitz G. S. On the effects of boyancy flux on continental shelf circulation // J. Phys. Oceanogr. 1979. V. 9. P. 911—918.Pietrafesa L. J., Janovitz G. S. On the effects of boyancy flux on continental shelf circulation // J. Phys. Oceanogr. 1979. V. 9. P. 911—918.Alekseev G. V., Johannessen O. M., Kovalevskii D. V. Development of Convective Motions under the Effect of Local Perturbations of Sea-Surface Density // Izvestiya Atmospheric and Oceanic Physics. 2001. V. 37 (3). P. 341—350.Alekseev G. V., Johannessen O. M., Kovalevskii D. V. Development of Convective Motions under the Effect of Local Perturbations of Sea-Surface Density // Izvestiya Atmospheric and Oceanic Physics. 2001. V. 37 (3). P. 341—350.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: УРСС, 2006.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: УРСС, 2006.Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1965. Т. 1.Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1965. Т. 1.Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Пер. с англ. М.: Мир, 1973.Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Пер. с англ. М.: Мир, 1973.Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963. Т. 1.Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963. Т. 1.Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: УРСС, 2003.Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: УРСС, 2003.Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973. Т. 1.Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973. Т. 1.Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / Пер. с англ. М.: Мир, 1975.Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / Пер. с англ. М.: Мир, 1975.Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости / Пер. с англ. 2-е изд., стер. М.–Ижевск: РХД, 2001.Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости / Пер. с англ. 2-е изд., стер. М.–Ижевск: РХД, 2001.Каменкович В. М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1973.Каменкович В. М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1973.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.