hydrophysicsФундаментальная и прикладная гидрофизикаFundamental and Applied Hydrophysics2073-66732782-5221St. Petersburg Research Center of the Russian Academy of Sciences10.59887/fpg/4eh4-83zr-r1fmhydrophysics-691Research ArticleФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОФИЗИКИFUNDAMENTAL ISSUES OF HYDROPHYSICSАналитическое решение лучевых уравнений Гамильтона для волн Россби на стационарных сдвиговых потокахAnalytical Solution of the Ray Equations of Hamilton for Rossby Waves on Stationary Shear FlowsГневышевВ. Г.GnevyshevV. G.

117997, Нахимовский пр., д. 36, г. Москва

117997, Nahimovsky Pr., 36, Moscow

БелоненкоТ. В.BelonenkoT. V.

199034, Университетская наб., 7–9, г. Санкт-Петербург

199034, 7–9, Universitetskaya Emb., St. Petersburg

btvlisab@yandex.ruИнститут океанологии им. П.П. Ширшова РАНРоссияShirshov Institute of Oceanology, Russian Academy of SciencesRussian FederationСанкт-Петербургский государственный университетРоссияSt. Petersburg State UniversityRussian Federation202225062022152818Copyright © Гневышев В.Г., Белоненко Т.В., 20222022Гневышев В.Г., Белоненко Т.В.Gnevyshev V.G., Belonenko T.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://hydrophysics.spbrc.ru/jour/article/view/691

Рассматривается асимптотическое поведение волн Россби, взаимодействующих со сдвиговым стационарным течением. Показано, что в этих задачах существует качественное отличие задач для зонального и незонального фонового потока. Если для зонального потока возникает только один критический слой, то для незонального может существовать несколько критических слоев. Установлено, что проинтегрированные лучевые уравнения Гамильтона оказываются равносильны асимптотикам решения задачи Коши. Получены явные аналитические решения для волновых треков волн Россби, как функции времени и начальных параметров волнового возмущения, а также величины сдвига и угла наклона потока к зональному направлению. На примере волн Россби на сдвиговом потоке аналитически проинтегрированы лучевые уравнения Гамильтона. Полученные явные выражения позволяют рассчитывать в реальном времени треки волн Россби для любого начального направления волны и для любого угла наклона сдвигового течения. Показано, что эти треки для незонального потока качественно носят сильно анизотропный характер.

The asymptotic behavior of Rossby waves in the ocean interacting with a shear stationary flow is considered. It is shown that there is a qualitative difference between the problems for the zonal and non-zonal background flow. Whereas only one critical layer arises for a zonal flow, then several critical layers can exist for a non-zonal flow. It is established that the integrated ray equations of Hamilton are equivalent to the asymptotic behavior of the Cauchy problem solution. Explicit analytical solutions are obtained for the tracks of Rossby waves as a function of time and initial parameters of the wave disturbance, as well as the magnitude of the shear and angle of inclination of the flow to the zonal direction. The ray equations of Hamilton are analytically integrated for Rossby waves on a shear flow. The obtained explicit expressions make it possible to calculate in real-time the Rossby wave tracks for any initial wave direction and any shear current inclination angle. It is shown qualitatively that these tracks for a non-zonal flow are strongly anisotropic.

волны Россбисдвиговое течениезональноенезональноеэрмитов операторне эрмитовлучевые уравнения ГамильтонаRossby wavesshear flowzonalnon-zonalHermitian operatorsNon-Hermitian operatorsray equations of HamiltonThe publication was funded by the Russian Science Foundation, project No 22-27-00004. The work of V.G.G. was carried out within the State Task for the Shirshov Institute of Oceanology RAS, project No 0128-2021-0003The publication was funded by the Russian Science Foundation, project No 22-27-00004. The work of V.G.G. was carried out within the State Task for the Shirshov Institute of Oceanology RAS, project No 0128-2021-0003.ReferencesRossby C.G. et al. Relation between variations in the zonal circulation of the atmosphere and the displacements of the semi-permanent centers of action // Journal of Marine Research. 1939. Vol. 2. P. 38–55. doi:10.1357/002224039806649023Rossby C.G. et al. Relation between variations in the zonal circulation of the atmosphere and the displacements of the semi-permanent centers of action. Journal of Marine Research. 1939, 2, 38–55. doi:10.1357/002224039806649023Fu L.-L., Cazenave A. Satellite altimetry and Earth sciences: a handbook of techniques and applications. San Diego, CA: Academic Press, 2000.Fu L.-L., Cazenave A. Satellite altimetry and Earth sciences: a handbook of techniques and applications. San Diego, 2000. CA: Academic Press.Gnevyshev V.G., Badulin S.I., Belonenko T.V. Rossby waves on non-zonal currents: structural stability of critical layer effects // Pure and Applied Geophysics. 2020. Vol. 177(11). P. 5585–5598. doi:10.1007/s00024-020-02567-0Gnevyshev V.G., Badulin S.I., Belonenko T.V. Rossby waves on non-zonal currents: structural stability of critical layer effects. Pure and Applied Geophysics. 2020, 177(11), 5585–5598. doi:10.1007/s00024-020-02567-0Gnevyshev V.G., Badulin S.I., Koldunov A.V., Belonenko T.V. Rossby waves on non-zonal flows: vertical focusing and effect of the current stratification // Pure and Applied Geophysics. 2020. Vol. 178, N8. P. 3247–3261. doi:10.1007/s00024-021-02799-8Gnevyshev V.G., Badulin S.I., Koldunov A.V., Belonenko T.V. Rossby waves on non-zonal flows: vertical focusing and effect of the current stratification. Pure and Applied Geophysics. 2020, 178(8), 3247–3261. doi:10.1007/s00024-021-02799-8LeBlond P.H., Mysak L.A. Waves in the ocean. Elsevier Scientific Publishing Company. 1978. Vol. 602. doi:10.1016/s0422-9894(08)x7037-0LeBlond P.H., Mysak L.A. Waves in the ocean. Elsevier Scientific Publishing Company. 1978, 602. doi:10.1016/s0422-9894(08) x7037-0Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Аналитические решения уравнения внутренних волн в стратифицированной среде со сдвиговыми течениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59, № 7. С. 1174–1183. doi:10.1134/S0044466919070032Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Analytical solutions of the internal gravity wave equation in a stratified medium with shear flows. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2019, 59, 7, 1121–1130. doi:10.1134/S0965542519070030Булатов В.В. Новые задачи математического моделирования волновой динамики стратифицированных сред. М.: Издательство «ОнтоПринт», 2021. 277 c.Bulatov V.V. New problems of mathematical modeling of wave dynamics of stratified media. 2021. Moscow, Publishing House “OntoPrint”, 277 p. (In Russian).Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Dynamics of internal gravity waves in the ocean with shear flows // Russian Journal of Earth Sciences. 2020. Vol. 20, ES4004, doi:10.2205/2020ES000732Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Dynamics of internal gravity waves in the ocean with shear flows. Russian Journal of Earth Sciences. 2020, 20, ES4004. doi:10.2205/2020ES000732Gottwald G.A., Pelinovsky D.E. On the impossibility of solitary Rossby waves in meridionally unbounded domains // Physics of Fluids. 2018. Vol. 30(11). 116601. doi:10.1063/1.5052191Gottwald G.A., Pelinovsky D.E. On the impossibility of solitary Rossby waves in meridionally unbounded domains. Physics of Fluids. 2018, 30(11), 116601. doi:10.1063/1.5052191Фабрикант А.Л. Отражение волн Россби от поверхности тангенциального разрыва скорости // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1987. Т. 23, № 1. С. 106–109.Fabrikant A.L. Reflection of Rossby waves from the surface of the tangential velocity discontinuity. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Fizika Atmosfery i Okeana. 1987, 23, 106–109 (In Russian).Fabrikant A.L., Stepanyants Yu.A. Propagation of waves in shear flows. Singapore: World Scientific, 1998. 287 p.Fabrikant A.L., Stepanyants Yu.A. Propagation of waves in shear flows. 1998. World Scientific, Singapore, 287 p.Степанянц Ю.А., Фабрикант А.Л. Распространение волн в сдвиговых гидродинамических течениях // Успехи физических наук. 1989. Т. 159, № 1. С. 83–123. doi:10.3367/UFNr.0159.198909c.0083Stepanyants Y.A., Fabrikant A.L. Propagation of waves in hydrodynamic shear flows. Uspekhi Fizicheskih Nauk. 1989, 32 (9), 783–805, doi:10.1070/PU1989v032n09ABEH002757Gnevyshev V.G., Shrira V.I. On the evaluation of barotropic-baroclinic instability parameters of zonal flows on a beta- plane // Journal of Fluid Mechanics. 1990. Vol. 221. P. 161–181. doi:10.1017/S0022112090003524Gnevyshev V.G., Shrira V.I. On the evaluation of barotropic-baroclinic instability parameters of zonal flows on a betaplane. Journal of Fluid Mechanics. 1990. 221, 161–181. doi:10.1017/S0022112090003524Ahmed B.M., Eltaeb I.A. On the propagation, reflexion, transmission and stability of atmospheric Rossby-gravity waves on a beta-plane in the presence of latitudinally sheared zonal flows // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1980. Vol. 298 (1435). P. 45–85. doi:10.1098/rsta.1980.0240Ahmed B.M., Eltaeb I.A. On the propagation, reflexion, transmission and stability of atmospheric Rossby-gravity waves on a beta-plane in the presence of latitudinally sheared zonal flows. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1980, 298 (1435), 45–85. doi:10.1098/rsta.1980.0240Duba C.T., Doyle T.B., McKenzie J.F. Rossby wave patterns in zonal and meridional winds // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 2014. Vol. 108, N 3. P. 237–257. doi:10.1080/03091929.2013.867604Duba C.T., Doyle T.B., McKenzie J.F. Rossby wave patterns in zonal and meridional winds. Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 2014, 108 (3), 237–257. doi:10.1080/03091929.2013.867604Yamagata T. On the propagation of Rossby waves in a weak shear flow // Journal of the Meteorological Society of Japan. 1976. Vol. 54, N 2. P. 126–127. doi:10.2151/jmsj1965.54.2_126Yamagata T. On the propagation of Rossby waves in a weak shear flow. Journal of the Meteorological Society of Japan. 1976, 54 (2), 126–128. doi: 10.2151/jmsj1965.54.2_126Yamagata T. On trajectories of Rossby wave-packets released in a lateral shear flow // Journal of the Oceanographic Society of Japan. 1976. Vol. 32. P. 162–168. doi:10.1007/BF02107270Yamagata T. On trajectories of Rossby wave-packets released in a lateral shear flow. Journal of the Oceanographic Society of Japan. 1976, 32, 162–168. doi:10.1007/BF02107270Salmon R. Lectures on Geophysical Fluid Dynamics. Oxford University Press; 1st ed. 1998. 392 p.Salmon R. Lectures on geophysical fluid dynamics. Oxford University Press. 1st ed. 1998, 392 p.Killworth P.D., Blundell J.R. Long extratropical planetary wave propagation in the presence of slowly varying mean flow and bottom topography. Part I. The local problem // Journal of Physical Oceanography. 2003. Vol. 33 (4). P. 784–801. doi:10.1175/1520–0485(2003)33<Killworth P.D., Blundell J.R. Long extratropical planetary wave propagation in the presence of slowly varying mean flow and bottom topography. Part I. The local problem. Journal of Physical Oceanography. 2003, 33 (4), 784–801. doi:10.1175/1520–0485(2003)33<Гневышев В.Г., Фролова А.В., Кубряков А.А., Собко Ю.В., Белоненко Т.В. Взаимодействие волн Россби со струйным потоком: основные уравнения и их верификация для Антарктического циркумполярного течения // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2019. Т. 55, № 5. С. 39–50. doi:10.31857/S0002-351555539-50Gnevyshev V.G., Frolova A.V., Kubryakov A.A., Sobko Yu.V., Belonenko T.V. Interaction between Rossby waves and a jet flow: basic equations and verification for the antarctic circumpolar current. Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 2019, 55 (5), 412–422. doi:10.1134/S0001433819050074Гневышев В.Г., Фролова А.В., Колдунов А.В., Белоненко Т.В. Топографический эффект для волн Россби на зональном сдвиговом потоке // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2021. Т. 14, № 1. С. 4–14. doi:10.7868/S2073667321010019Gnevyshev V.G., Frolova A.V., Koldunov A.V., Belonenko T.V. Topographic effect for Rossby waves on a zonal shear flow. Fundamental and Applied Hydrophysics. 2021, 14, 1, 4–14. doi:10.7868/S2073667321010019 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.