hydrophysicsФундаментальная и прикладная гидрофизикаFundamental and Applied Hydrophysics2073-66732782-5221St. Petersburg Research Center of the Russian Academy of Sciences10.59887/2073-6673.2026.19(2)-3jasesthydrophysics-1551Research ArticleГИДРОФИЗИЧЕСКИЕ И БИОГЕОХИМИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ПРОЦЕССЫHYDROPHYSICAL AND BIOGEOCHEMICAL FIELDS AND PROCESSESМоделирование циркуляции Черного моря с использованием схем аппроксимации, обладающих дискретными квадратичными инвариантамиModeling of the Black Sea circulation using approximation schemes with discrete quadratic invariantshttps://orcid.org/0000-0002-5405-2282ДемышевС. Г.DemyshevS. G.

Демышев Сергей Германович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник

299011, Севастополь, ул. Капитанская, д. 2

demyshev@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0003-4036-2447ДымоваО. А.DymovaO. A.

Дымова Ольга Алексеевна, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

299011, Севастополь, ул. Капитанская, д. 2

olgdymova@mhi-ras.ruМорской гидрофизический институт РАНРоссияMarine Hydrophysical Institute of the Russian Academy of SciencesRussian Federation2026100820261922640Copyright © Демышев С.Г., Дымова О.А., 20262026Демышев С.Г., Дымова О.А.Demyshev S.G., Dymova O.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://hydrophysics.spbrc.ru/jour/article/view/1551

С целью оценки точности результатов моделирования гидрофизических полей проведено сравнение трех типов консервативных схем аппроксимации адвективных слагаемых в уравнениях движения, которые дают возможность сохранять либо энергию (1 эксперимент), либо потенциальную энстрофию (2 эксперимент), либо как энергию, так и потенциальную энстрофию (3 эксперимент). Задача решалась на примере моделирования циркуляции Черного моря при помощи модели Морского гидрофизического института. Выполнено три эксперимента с атмосферным воздействием, соответствующим 2016 г. Результаты расчетов сравнивались между собой, а также с данными наблюдений. Получено, что результаты всех экспериментов близки между собой и качественно соответствуют данным наблюдений. Валидация реконструированных гидрофизических полей по данным измерений температуры, солености и скорости течений показала небольшие количественные отличия от данных наблюдений. Анализ энергетики циркуляции показал, что наибольшая разница имеет место в работе сил адвекции и плавучести в областях интенсивной динамики (на периферии мезомасштабных вихрей и струйных течений). Из анализа баланса сил следует, что соблюдение одновременно законов сохранения энергии и потенциальной энстрофии в разностной задаче обеспечивает более высокую точность при описании работы архимедовой силы и, следовательно, воспроизведении процессов бароклинной неустойчивости.

To assess the accuracy of the modeling hydrophysical fields, a comparison of three types of conservative approximation schemes for advective terms in the motion equations was made. These schemes ensure conservation of energy (Experiment 1), potential enstrophy (Experiment 2), and both energy and potential enstrophy (Experiment 3). A numerical simulation method   of the Black Sea circulation was applied by using the Marine Hydrophysical Institute model. Three diagnostic simulations with realistic boundary conditions for 2016 were performed, and the results were compared with each other and with observational data. It was found that based on all three schemes, the experimental results were close to each other and qualitatively corresponded to the observational data. Validation of the reconstructed hydrophysical fields using measurements of the temperature, salinity, and current velocity revealed small quantitative differences from the observational data. An analysis of the circulation energetics showed that the greatest difference occurs in the work of advection and buoyancy forces in areas of intense dynamics (in the periphery of mesoscale eddies and jet currents). From the analysis of the forces balance it follows that the simultaneous observance of the conservation laws of energy and potential enstrophy in the difference problem ensures higher accuracy in describing the Archimedes force work and, consequently, in reproducing the processes of baroclinic instability.

моделирование океанаконсервативные схемынелинейные инвариантыкинетическая энергияданные наблюденийocean simulationconserving schemesnonlinear invariantskinetic energyobservational dataРабота выполнена в рамках темы госзадания № FNNN-2024-0001.The study has been carried out as part of the state assignment No. FNNN-2024-0001.ReferencesSkopenkov M. Discrete field theory: symmetries and conservation laws // Mathematical Physics Analysis and Geometry. 2023. Vol. 26: 19. EDN ITXDSK. https://doi.org/10.1007/s11040-023-09459-4Skopenkov M. Discrete field theory: symmetries and conservation laws. Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2023;26:19. https://doi.org/10.1007/s11040-023-09459-4Arakawa A. Computational design for long-term numerical integration of the equations of fluid motion: Two-dimensional incompressible flow // Journal of Computation Physics. 1966. Vol. 1. P. 119–143. https://doi.org/10.1016/0021-9991(66)90015-5Arakawa A. Computational design for long-term numerical integration of the equations of fluid motion: two-dimensional incompressible flow. Journal of Computational Physics. 1966;1:119–143. https://doi.org/10.1016/0021-9991(66)90015-5Arakawa A., Lamb V.R. A potential enstrophy and energy conserving scheme for the shallow water equation // Monthly Whether Review. 1981. Vol. 109(1). P. 18–36. https://doi.org/10.1175/1520-0493(1981)109%3C0018:APEAEC%3E2.0.CO;2Arakawa A, Lamb VR. A potential enstrophy and energy conserving scheme for the shallow water equation. Monthly Weather Review. 1981;109(1):18–36. https://doi.org/10.1175/1520-0493(1981)109<0018:APEAEC>2.0.CO;2Sugibuchi Y., Matsuo T., Sato S. Constructing invariant-preserving numerical schemes based on Poisson and Nambu brackets // Japan Society for Industrial and Applied Mathematics. 2018. Vol. 10. P. 53–56. https://doi.org/10.14495/jsiaml.10.53Sugibuchi Y, Matsuo T, Sato S. Constructing invariant-preserving numerical schemes based on Poisson and Nambu brackets. Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 2018;10:53–56. https://doi.org/10.14495/jsiaml.10.53Toy M.D., Nair R.D. A potential enstrophy and energy conserving scheme for the shallow water equations extended to generalized curvilinear coordinates // Monthly Weather Review. 2016. Vol. 145(3). P. 751–772. https://doi.org/10.1175/MWR-D-16-0250.1Toy MD, Nair RD. A potential enstrophy and energy conserving scheme for the shallow water equations extended to generalized curvilinear coordinates. Monthly Weather Review. 2016;145(3):751–772. https://doi.org/10.1175/MWR-D-16-0250.1Демышев С.Г. Схема Аракавы — Лэмба в приложении для стратифицированной несжимаемой жидкости при отсутствии трения // Морской гидрофизический журнал. 2025. Т. 41, № 3. С. 346–357. EDN MMVQENDemyshev SG. Arakawa–Lamb scheme in application to stratified incompressible fluid in the absence of friction. Physical Oceanography. 2025;32(3):361–371.Stewart A.L., Dellar P.J. An energy and potential enstrophy conserving numerical scheme for the multi-layer shallow water equations with complete Coriolis force // Journal of Computational Physics. 2016. Vol. 313. P. 99–120. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2015.12.042Stewart AL, Dellar PJ. An energy and potential enstrophy conserving numerical scheme for the multi-layer shallow water equations with complete Coriolis force. Journal of Computational Physics. 2016;313:99–120. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2015.12.042Shchepetkin A.F., McWilliams J.C. The Regional Ocean Modeling System: A splitexplicit, free-surface, topography following coordinates ocean model // Ocean Modelling. 2005. Vol. 9(4). P. 347–404. https://doi.org/10.1016/j.ocemod.2004.08.002Shchepetkin AF, McWilliams JC. The Regional Ocean Modeling System: a split-explicit, free-surface, topography following coordinates ocean model. Ocean Modelling. 2005;9(4):347–404. https://doi.org/10.1016/j.ocemod.2004.08.002Huang H., Chen C., Cowles G.W., et al. FVCOM validation experiments: Comparisons with ROMS for three idealized barotropic test problems // Journal of Geophysical Research. 2008. Vol. 113. C07042. https://doi.org/10.1029/2007JC004557Huang H, Chen C, Cowles GW, et al. FVCOM validation experiments: comparisons with ROMS for three idealized barotropic test problems. Journal of Geophysical Research: Oceans. 2008;113: C07042. https://doi.org/10.1029/2007JC004557Backeberg B.C., Bertino L., Johannessen J.A. Evaluating two numerical advection schemes in HYCOM for eddy-resolving modelling of the Agulhas Current // Ocean Science Discussions. 2009. Vol. 5(2). P. 173–190. EDN NAFXJJ. https://doi.org/10.5194/osd-6-429-2009Backeberg BC, Bertino L, Johannessen JA. Evaluating two numerical advection schemes in HYCOM for eddy-resolving modelling of the Agulhas Current. Ocean Science Discussions. 2009;5(2):173–190. https://doi.org/10.5194/osd-6-429-2009User manual for the MIT General Circulation Model (MITgcm). 2018. URL: http://hdl.handle.net/1721.1/117188 (дата обращения: 15.10.2025)User manual for the MIT General Circulation Model (MITgcm). 2018. Available from: http://hdl.handle.net/1721.1/117188 (Accessed: 15.10.2025).Madec G. and the NEMO team. NEMO ocean engine // Note du Pˆole de mod´elisation de l’Institut Pierre-Simon La place. 2015. No 27. URL: https://epic.awi.de/id/eprint/39698/1/NEMO_book_v6039.pdf (дата обращения: 15.10.2025)Madec G, the NEMO team. NEMO ocean engine. Note du Pôle de modélisation de l’Institut Pierre-Simon Laplace. 2015;(27). Available from: https://epic.awi.de/id/eprint/39698/1/NEMO_book_v6039.pdf (Accessed: 15.10.2025).MOM6 documentation. 2023. URL: https://mom6.readthedocs.io/en/dev-gfdl/about.html (дата обращения: 17.10.2025)MOM6 documentation. 2023. Available from: https://mom6.readthedocs.io/en/dev-gfdl/about.html (Accessed: 17.10.2025).Petersen M., Asay-Davis X., Jacobsen D., et al. MPAS Ocean User’s Guide V6. Zenodo. 2018. https://doi.org/10.5281/zenodo.1246893Petersen M, Asay-Davis X, Jacobsen D, et al. MPAS Ocean User’s Guide V6. Zenodo. 2018. https://doi.org/10.5281/zenodo.1246893Korn P. A structure-preserving discretization of ocean parametrizations on unstructured grids // Ocean Modelling. 2018. Vol. 132. P. 73–90. EDN RTLYEA. https://doi.org/10.1016/j.ocemod.2018.10.002Korn P. A structure-preserving discretization of ocean parametrizations on unstructured grids. Ocean Modelling. 2018;132:73–90. https://doi.org/10.1016/j.ocemod.2018.10.002Hecht M.W., Holm D.D., Petersen M.R., et al. Implementation of the LANS-α turbulence model in a primitive equation ocean model // Journal of Computational Physics. 2008. Vol. 227(11). P. 5691–5716. EDN MTUZZX. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2008.02.018Hecht MW, Holm DD, Petersen MR, et al. Implementation of the LANS-α turbulence model in a primitive equation ocean model. Journal of Computational Physics. 2008;227(11):5691–5716. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2008.02.018Korn P., Linardakis L. A conservative discretizations of the shallow-water equations on triangular grids // Journal of Computational Physics. 2018. Vol. 375. P. 871–900. EDN YKSPML. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.09.002Le Sommer J, Penduff Th, Theetten S, et al. How momentum advection schemes influence current-topography interactions at eddy permitting resolution. Ocean Modelling. 2009;29(1):1–14. https://doi.org/10.1016/j.ocemod.2008.11.007Le Sommer J., Penduff Th., Theetten S., et al. How momentum advection schemes influence current-topography inter actions at eddy permitting resolution // Ocean Modelling. 2009. Vol. 29(1). P. 1–14. EDN MLGFEB. https://doi.org/10.1016/j.ocemod.2008.11.007Korn P, Linardakis L. A conservative discretization of the shallow-water equations on triangular grids. Journal of Computational Physics. 2018;375:871–900. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.09.002Eaves R.E., Maddison J.R., Marshall D.P., Waterman S. An Energy-and Enstrophy-Constrained Parameterization of Barotropic Eddy Potential Vorticity Fluxes // Journal of Physical Oceanography. 2025. Vol. 55(5). P. 573–591. EDN FOWQGE. https://doi.org/10.1175/JPO-D-24-0027.1Eaves RE, Maddison JR, Marshall DP, Waterman S. An energy and enstrophy-constrained parameterization of barotropic eddy potential vorticity fluxes. Journal of Physical Oceanography. 2025;55(5):573–591. https://doi.org/10.1175/JPO-D-24-0027.1Sadourny R. The dynamics of finite–difference models of the shallow–water equations // Journal of Atmospheric Sciences. 1975. Vol. 32, № 4. P. 680–689. https://doi.org/10.1175/1520-0469(1975)032<0680:TDOFDM>2.0.CO;2Sadourny R. The dynamics of finite-difference models of the shallow-water equations. Journal of the Atmospheric Sciences. 1975;32(4):680–689. https://doi.org/10.1175/1520-0469(1975)032<0680:TDOFDM>2.0.CO;2Arakawa A., Hsu Y.-J. G. Energy conserving and potential-enstrophy dissipating schemes for the shallow water equations // Monthly Weather Review. 1990. Vol. 118. P. 1960–1969. https://doi.org/10.1175/1520-0493(1990)118<1960:ECAPED>2.0.CO;2Arakawa A, Hsu Y-JG. Energy conserving and potential-enstrophy dissipating schemes for the shallow water equations. Monthly Weather Review. 1990;118:1960–1969. https://doi.org/10.1175/1520-0493(1990)118<1960:ECAPED>2.0.CO;2Ducousso N., Le Sommer J., Molines J.-M., Bell M. Impact of the “Symmetric Instability of the Computational Kind” at mesoscale and submesoscale-permitting resolutions // Ocean Modelling. 2017. Vol. 120. P. 18–26. EDN NSMQCJ. https://doi.org/10.1016/j.ocemod.2017.10.006Ducousso N, Le Sommer J, Molines J-M, Bell M. Impact of the “Symmetric Instability of the Computational Kind” at mesoscale and submesoscale-permitting resolutions. Ocean Modelling. 2017;120:18–26. https://doi.org/10.1016/j.ocemod.2017.10.006Демышев С.Г. Численная модель оперативного прогноза течений в Черном море // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2012. Т. 48, № 1. С. 137–149. EDN OOWHLL.Demyshev SG. A numerical model of online forecasting Black Sea currents. Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 2012;48:120–132. https://doi.org/10.1134/S0001433812010021Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. Т. IV. Черное море. Вып. 1. Гидрометеорологические условия / под ред. А.И. Симонова, Э.Н. Альтмана. СПб.: Гидрометеоиздат, 1991. 428 с.Hydrometeorology and Hydrochemistry of Seas in the USSR. Vol. IV. Black Sea. Issue 1. Hydrometeorological Conditions. Simonov AI, Altman EN, editors. Saint Petersburg: Gidrometeoizdat; 1991. 429 p. (In Russ)Яковлев Н.Г. Численная модель и предварительные результаты расчетов по воспроизведению летней циркуляции вод Карского моря // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1996. Т. 32. № 5. С. 714–723.Iakovlev NG. A numerical model and preliminary results of calculations to reproduce the summer circulation in the Kara Sea. Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 1996;32(5):660–668.Kallos G., Nickovic S., Papadopoulos A., et al. The regional weather forecasting system SKIRON: An overview // Proceedings of the International Symposium on Regional Weather Prediction on Parallel Computer Environments, 15–17 Oct 1997, Athens, Greece. University of Athens, 1997. P. 109–122.Kallos G, Nickovic S, Papadopoulos A, et al. The regional weather forecasting system SKIRON: an overview. In: Proceedings of the International Symposium on Regional Weather Prediction on Parallel Computer Environments; 1997 Oct 15–17; Athens, Greece. 1997. p. 109–122.Артамонов Ю.В., Алексеев Д.В., Скрипалева Е.А. и др. Термохалинная структура вод у берегов Крыма и прилегающей открытой части Черного моря летом 2016 г. // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон моря. 2017. № 3. С. 20–31. EDN ZMZFVL.Artamonov YuV, Alekseev DV, Skripaleva EA, et al. Thermohaline structure of water near the Crimea coast and adjacent open water area of the Black Sea at summer 2016. Ecological Safety of Coastal and Shelf Zones of Sea. 2017;(3):20–31. (In Russ)Артамонов Ю.В., Алексеев Д.В., Скрипалева Е.А. и др. Особенности сезонной и синоптической изменчивости структуры вод в зоне Основного Черноморского течения в осенне-зимний период 2016 г // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон моря. 2018. № 1. С. 32–43. EDN XQZIGD. https://doi.org/10.22449/2413-5577-2018-1-32-43Artamonov YuV, Alekseev DV, Skripaleva EA, et al. Peculiarities of seasonal and synoptic variability of water structure in the zone of the Rim Current at autumn and winter 2016. Ecological Safety of Coastal and Shelf Zones of Sea. 2018;(1):32–43. https://doi.org/10.22449/2413-5577-2018-1-32-43 (In Russ)Морской портал. 2025: Архив данных по Чёрному морю. Температура поверхности Чёрного моря по данным ИСЗ NOAA. URL: http://dvs.net.ru/mp/data/main_ru.shtml (дата обращения: 23.07.2025).Marine Portal. Available from: http://dvs.net.ru/mp/data/main_ru.shtml (Accessed: 23.07.2025).Bayankina T.M., Godin E.A., Zhuk E.V., et al. Information resources of Marine Hydro-physical Institute, RAS: current state and development prospects // Processes in Geo-Media — Volume II.Springer Geology. Springer, Cham, 2021. P. 187–197. EDN FPRRFS. https://doi.org/10.1007/978-3-030-53521-6_22Bayankina TM, Godin EA, Zhuk EV, Ingerov AV, Isaeva EA, Vetsalo MP. Information resources of Marine Hydro physical Institute, RAS: current state and development prospects. In: Processes in GeoMedia — Volume II. Springer Geology. 2021. p. 187–197. https://doi.org/10.1007/978-3-030-53521-6_22Демышев С.Г. Энергетика климатической циркуляции Черного моря. Ч.I. Дискретные уравнения скорости изменения кинетической и потенциальной энергий // Метеорология и гидрология. 2004. № 9. С. 65–80. EDN PGCNXF.Demyshev SG. Energy of the Black Sea climatic circulation. Part I: discrete equations of the time rate of change of kinetic and potential energy. Meteorologiya i Gidrologiya. 2004;(9):65–80. (In Russ)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.