hydrophysicsФундаментальная и прикладная гидрофизикаFundamental and Applied Hydrophysics2073-66732782-5221St. Petersburg Research Center of the Russian Academy of Sciences10.7868/S207366732104002Xhydrophysics-129Research ArticleФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОФИЗИКИFUNDAMENTAL ISSUES OF HYDROPHYSICSПараболические ловушки волн Россби в океанеParabolic traps of Rossby waves in the oceanГневышевВ. Г.GnevyshevV. G.

117997, Нахимовский пр., д. 36, г. Москва

117997, Nahimovskiy prospekt, 36, Moscow

БелоненкоТ. В.BelonenkoT. V.

199034, Университетская наб., 7–9, г. Санкт-Петербург

199034, 7–9, Universitetskaya Nab., St. Petersburg

btvlisab@yandex.ruИнститут океанологии им. П.П. Ширшова РАНРоссияShirshov Institute of Oceanology, Russian Academy of SciencesRussian FederationСанкт-Петербургский государственный университетРоссияSt. Petersburg State UniversityRussian Federation2021141220211441424Copyright © Гневышев В.Г., Белоненко Т.В., 20212021Гневышев В.Г., Белоненко Т.В.Gnevyshev V.G., Belonenko T.V.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://hydrophysics.spbrc.ru/jour/article/view/129

Анализ динамики волн Россби показывает, что при взаимодействии их со сдвиговыми течениями возможны режимы, когда из-за неоднородности фонового течения волны Россби захватываются течением, при этом происходит вертикальная фокусировка — сжатие моды на некотором вертикальном горизонте. Для вертикальной моды вместо классического тригонометрического косинуса появляются сильно локализованные решения в виде экспоненциально модулированных полиномов Эрмита. Качественно ситуацию можно описать следующим образом: неоднородное фоновое течение действует как некая параболическая антенна. Волна, попадая в эту параболическую ловушку, начинает отражаться от сужающихся стенок параболоида, при этом вертикальная зона прозрачности сужается, а продвижение волны к центру параболоида все более и более замедляется. В линейной постановке этот процесс длится бесконечно долго, при этом расстояние между соседними точками отражения от зеркала параболоида постепенно сокращается. Для внутренних волн такое уравнение в окрестности фокуса существует. Поскольку в окрестности фокуса нет принципиальных отличий внутренних волн от Россби, то математическую часть работы для внутренних волн можно трансформировать и для волн Россби.В терминах интеграла Фурье построено двумерное аналитическое решение эталонного уравнения для вертикальной фокусировки монохроматической волны в окрестности фокуса. Показана идентичность этого решения с решением эталонного уравнения в терминах вырожденной гипергеометрической функции от комплексного переменного, полученного в предыдущих исследованиях. Методом стационарной фазы найдена асимптотика решения в дальней зоне. Показано, что корректная двумерная сшивка полученного решения в виде вырожденной гипергеометрической функции от комплексного переменного происходит с ВКБ-решением в дальней зоне в терминах экспоненциально мажорированных полиномов Эрмита. Показано, что вопрос о поглощении в фокальной зоне не носит однозначный характер, и поэтому возможны обе ситуации: как прохождение, так и отражение от особенности.

Analysis of the Rossby wave dynamics shows when waves interact with shear currents vertical focusing of the modes occurs. Due to the inhomogeneity of the background flow, Rossby waves are captured by the current, and there is a compression of the modes on vertical horizons. For the vertical mode, instead of the classical trigonometric cosine, strongly localized solutions appear in the form of exponentially modulated Hermite polynomials. Qualitatively, the situation can be described as follows: an inhomogeneous background current acts like a kind of parabolic antenna. The wave, falling into this parabolic trap, begins to reflect off the narrowing walls of the paraboloid, while the vertical transparency zone narrows and the wave’s progress towards the center of the paraboloid slows down more and more. In the linear formulation, this process lasts infinitely long, while the distance between adjacent reflection points from the paraboloid mirror gradually decreases. There is a mathematical description of this phenomenon for internal waves. Since there are no fundamental differences between internal waves and Rossby in the vicinity of the focus, the mathematical part of the work for internal waves can also be transformed for Rossby waves.In this paper, in terms of the Fourier integral, we construct a two-dimensional analytical solution of the reference equation for the vertical focusing of a monochromatic wave in the vicinity of the focus. Using the degenerate hypergeometric function of the complex variable, we show the identity of this solution with the solution of the reference equation obtained in previous studies. We find the asymptotic behavior of the solution in the far zone by the stationary phase method. Using exponentially majored Hermite polynomials, we show the correct two-dimensional crosslinking of the obtained solution, which has in the form of a degenerate hypergeometric function of a complex variable, happens with the WKB solution in the far zone. We show the question of absorption in the focal zone is not unambiguous, and therefore both situations are possible: both the passage and the reflection from the feature.

волны Россбипараболическая антенналовушкаВКБ-приближениесшивкаасимптотикафокальная зонаобласти прозрачности и тениRossby wavesparabolic antennatrapWKB approximationcrosslinkingasymptoticsfocal zonetransparency and shadow regionsИсследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20–05– 0006. Работа В.Г. Гневышева выполнялась также в рамках госзадания ИО РАН № 0128–2021–0003.ReferencesБулатов В.В., Владимиров Ю.В. Дальние поля внутренних гравитационных волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных средах // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2013. Т. 6, № 2. С. 55–70.Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. Far fields of internal gravitational waves in inhomogeneous and nonstationary stratified media. Fundam. Prikl. Gidrofiz. 2013, 6(2), 55–70 (in Russian).Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях / Джеймс Лайтхилл; Пер. с англ. под ред. П.П. Корявова, П.И. Чушкина. М.: Мир, 1981. 598 с.Lighthill J. Waves in liquids / James Lighthill; Translated from English, edited by P.P. Koryavov, P.I. Chushkin. Moscow, Mir, 1981. 598 p. (in Russian).Гневышев В.Г., Шрира В.И. Динамика пакетов волн Россби в окрестности зонального критического слоя с учетом вязкости // Изв. АН СССР. Сер. физика атмосферы и океана. 1989a. Т. 25, № 10.Gnevyshev V.G., Shrira V.I. Dynamics of Rossby wave packets in the vicinity of the zonal critical layer taking into account viscosity. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Fizika Atmosfery i Okeana. 1989a, 25(10), 1064–1074.Гневышев В.Г., Шрира В.И. Кинематика волн Россби на неоднородном меридиональном течении // Океанология. 1989. Т. 29, № 4. С. 543–548.Gnevyshev V.G., Shrira V.I. Kinematics of Rossby waves on non-uniform meridional current. Oceanology. 1989, 29(4), 543–548.Gnevyshev V.G., Badulin S.I., Belonenko T.V. Rossby waves on non-zonal currents: structural stability of critical layer effects // Pure Appl. Geophys. 2020. V. 177, N 11. P. 5585–5598. doi: 10.1007/s00024–020–02567–0Gnevyshev V.G., Badulin S.I., Belonenko T.V. Rossby waves on non-zonal currents: structural stability of critical layer effects. Pure Appl. Geophys. 2020, 177, 5585–5598. doi: 10.1007/s00024–020–02567–0Badulin S.I., Shrira V.I. On the irreversibility of internal wave dynamics owing to trapping by large-scale flow nonuniformity // J. Fluid Mech. 1993. V. 251. P. 21–53. doi: 10.1017/S0022112093003325Badulin S.I., Shrira V.I. On the irreversibility of internal wave dynamics owing to trapping by large-scale flow nonuniformity. J. Fluid Mech. 1993, 251, 21–53. doi: 10.1017/S0022112093003325Killworth P.D., Blundell J.R. Long extratropical planetary wave propagation in the presence of slowly varying mean flow and bottom topography. Part I: The local problem // J. Phys. Oceanogr. 2003. V. 33, N 4. P. 784–801. doi: 10.1175/1520–0485(2003)33<784:LEPWPI>2.0.CO;2Killworth P.D., Blundell J.R. Long extratropical planetary wave propagation in the presence of slowly varying mean flow and bottom topography. Part I: The local problem. J. Phys. Oceanogr. 2003, 33(4), 784–801. doi: 10.1175/1520–0485(2003)33<784:LEPWPI>2.0.CO;2Killworth P.D., Blundell J.R. The dispersion relation for planetary waves in the presence of mean flow and topography. Part II: Two-dimensional examples and global results // J. Phys. Oceanogr. 2005. V. 35. P. 2110–2133. doi: 10.1175/jpo2817.1Killworth P.D., Blundell J.R. The dispersion relation for planetary waves in the presence of mean flow and topography. Part II: Two-dimensional examples and global results. J. Phys. Oceanogr. 2005, 35, 2110–2133. doi: 10.1175/jpo2817.1LaCasce J.H., Pedlosky J. The instability of Rossby Basin modes and the oceanic eddy field // J. Phys. Oceanogr. 2004. V. 34, N9. P. 2027–2041. doi: 10.1175/1520–0485(2004)034<2027:TIORBM>2.0.CO;2LaCasce J.H., Pedlosky J. The Instability of Rossby Basin Modes and the Oceanic Eddy Field*. J. Phys. Oceanogr. 2004, 34(9), 2027–2041. doi: 10.1175/1520–0485(2004)034<2027:TIORBM>2.0.CO;2Zonal Jets — Phenomenology, Genesis, and Physics / Edited by Galperin B., Read P.L. University Printing House, Cambridge. 2019. 524 p.Zonal Jets — Phenomenology, Genesis, and Physics / Edited by Galperin B., Read P.L. University Printing House, Cambridge, 2019. 524 p.Гневышев В.Г., Шрира В.И. Об оценке параметров баротропно-бароклинной неустойчивости зональных течений на бета-плоскости // Доклады Академии наук СССР. 1989с. 306(2). С. 305–309.Gnevyshev V.G., Shrira V.I. On the evaluation of barotropic-baroclinic instability parameters of the zonal flows in betaplane. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1989c, 306(2), 305–309.Gnevyshev V.G., Shrira V.I. On the evaluation of barotropic-baroclinic instability parameters of zonal flows on a beta-plane // J. Fluid Mech. 1990. V. 221. P. 161–181. doi: 10.1017/S0022112090003524Gnevyshev V.G., Shrira V.I. On the evaluation of barotropic-baroclinic instability parameters of zonal flows on a betaplane. J. Fluid Mech. 1990, 221, 161–181. doi: 10.1017/S0022112090003524Kobayashi S., Sakai S. Barotropic unstable modes in zonal and meridional channel on the beta-plane // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 1993. V. 71. P. 73–103. doi: 10.1080/03091929308203598Kobayashi S., Sakai S. Barotropic unstable modes in zonal and meridional channel on the beta-plane. Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 1993, 71(1–4), 73–103. doi: 10.1080/03091929308203598Badulin S.I., Shrira V.I., Tsimring L.S. The trapping and vertical focusing of internal waves in a pycnocline due to the horizontal inhomogeneities of density and currents // J. Fluid Mech. 1985. V. 158. P. 199–218. doi: 10.1017/s0022112085002610Badulin S.I., Shrira V.I., Tsimring L.S. The trapping and vertical focusing of internal waves in a pycnocline due to the horizontal inhomogeneities of density and currents. J. Fluid Mech. 1985, 158, 199–218. doi: 10.1017/s0022112085002610Гневышев В.Г., Шрира В.И. Трансформация монохроматических волн Россби в критическом слое на зональном течении // Изв. АН СССР. Сер. физика атмосферы и океана. 1989d. Т. 25, № 8.Gnevyshev V.G., Shrira V.I. Transformation of monochromatic Rossby waves in the critical layer of the zonal current. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Fizika Atmosfery i Okeana. 1989d, 25(8), 852–862.Ерохин Н.С., Сагдеев Р.З. К теории аномальной фокусировки внутренних волн в двумерно-неоднородной жидкости. Часть 1. Стационарная задача // Морской гидрофизический журнал. 1985. № 2. С. 15–27.Erokhin N.S., Sagdeev R.Z. On the theory of anomalous focusing of internal waves in a two-dimensional inhomogeneous fluid. Part 1. Stationary problem. Mor. Gidrofiz. Journal. 1985, 2, 15–27 (in Russian).Гневышев В.Г., Белоненко Т.В. Парадокс Россби и его решение // Гидрометеорология и экология (Ученые записки РГГМУ). 2020. № 61. С. 480–493. doi: 10.33933/2074–2762–2020–61–480–493.Gnevyshev V.G., Belonenko T.V. The Rossby paradox and its solution. Gidrometeorologiya i Ekologiya. Hydrometeorology and Ecology (Proceedings of the Russian State Hydrometeorological University). 2020, 61, 480–493 (in Russian). doi: 10.33933/2074–2762–2020–61–480–493Gnevyshev V.G., Badulin S.I., Koldunov A.V., Belonenko T.V. Rossby Waves on Non-zonal Flows: Vertical Focusing and Effect of the Current Stratification // Pure Appl. Geophys. 2021. doi: 10.1007/s00024–021–02799–8Gnevyshev V.G., Badulin S.I., Koldunov A.V., Belonenko T.V. Rossby Waves on Non-zonal Flows: Vertical Focusing and Effect of the Current Stratification. Pure Appl. Geophys. 2021. doi: 10.1007/s00024–021–02799–8Гневышев В.Г., Фролова А.В., Колдунов А.В., Белоненко Т.В. Топографический эффект для волн Россби на зональном сдвиговом потоке // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2021. Т. 14, № 1. С. 4–14. doi: 10.7868/S2073667321010019Gnevyshev V.G., Frolova A.V., Koldunov A.V., Belonenko T.V. Topographic effect for Rossby waves on a zonal shear flow. Fundam. Prikl. Gidrofiz. 2021, 14, 1, 4–14. doi: 10.7868/S2073667321010019Гневышев В.Г., Фролова А.В., Кубряков А.А., Собко Ю.В., Белоненко Т.В. Взаимодествие волн Россби со струйным потоком: основные уравнения и их верификация для Антарктического циркумполярного течения // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2019. Т. 55, № 5. С. 39–50.Gnevyshev V.G., Frolova A.V., Kubryakov A.A., Sobko Y.V., Belonenko T.V. Interaction of Rossby waves with a jet stream: basic equations and their verification for the antarctic circumpolar current. Izv. Atmos. Ocean Phys. 2019, 55(5), 412– 422. doi: 10.1134/S0001433819050074Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 1963. 1100 с.Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tables of integrals, sums, series and products. 1963, 1100 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.